Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem



  • Hallo,

    wie soll eigentlich aus diesen zwei Injektionen im Beweis eine Menge C0 = A \ g[B] nicht leer sein? Für zwei gegenseitige Injektionen gilt einfach fneu_bijektiv = g-1. Welchen Sinn hat aber dieser Beweis?

    Gruß



  • Keine Ahnung. Wenn man unendlich grosse Mengen in Betracht zieht, dann kann C0 durchaus nicht leer sein. (PS: ich habe den Beweis mir jetzt nicht weiter angesehen und ueber Sinn laesst sich sowieso streiten.)



  • Bei den unendlichen Mengen bin ich noch nicht, bei endlichen sehe ich aber keinen direkten Sinn. Vielleicht könnte man mir einfach sagen, dass C0 bei unendlichen Mengen eine Rolle spielen wird. Das wäre schon völlig ausreichend.

    Gruß



  • Borschtsch schrieb:

    Bei den unendlichen Mengen bin ich noch nicht, bei endlichen sehe ich aber keinen direkten Sinn. Vielleicht könnte man mir einfach sagen, dass C0 bei unendlichen Mengen eine Rolle spielen wird. Das wäre schon völlig ausreichend.

    Gruß

    na, bei endlichen ist der ganze satz ja schon trivial



  • Borschtsch schrieb:

    Hallo,

    wie soll eigentlich aus diesen zwei Injektionen im Beweis eine Menge C0 = A \ g[B] nicht leer sein?

    f:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}, f(x):=x$, $g:\mathbb{R}\rightarrow[0,2],g(x):=\frac{1}{1+\exp(-x)}$$. Dann ist $$g(\mathbb{R}) = (0,1)$$, $$C_0 = [1,2]\neq\emptyset$$. > Vielleicht könnte man mir einfach sagen, dass C0 bei unendlichen Mengen eine Rolle spielen wird. Das wäre schon völlig ausreichend. Mengelehre wird überhaupt erst bei höheren Kardinalitäten spannend. Für endliche Mengen sind die meisten Aussagen trivial.


  • Danke, das erklärt einiges. Ein Hinweis darauf in meinem Buch würde mir diese Fragerei ersparen.

    Gruß



  • @Bashar: Kann man in deinem Fall von einem injektiven g sprechen, also im Bezug auf [0, 2] und nicht (0, 1)?

    Gruß



  • Ja, natürlich.


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