Lineare Abbildungen und lineare unabhängigkeit



  • Hallo,

    habe folgende aufgabe: Es seien V, W Vektorräume, T:V->W eine lin. Abb., "n Elemenet N" (nat. Zahlen als index) und {v1, v2, ..., vn} Teilmenge V. Folgende Aussage soll bewiesen oder widgerlegt werden:

    T(v1), ..., T(vn) linear abhängig => v1, ..., vn linear abhängig

    (und später auch mit linearer unabhängigkeit)

    mein ansatz:
    a1 T(v1) + ... + an T(vn) = 0 => a1 v1 + ... + an vn = 0
    T(a1 v1) + ... + T(an vn) = 0 => a1 v1 + ... + an vn = 0

    falls es für die linke seite andere lösungen als die triviale lösung gibt (koeffizienten = 0) dann sind die vektoren lin. abhängig. da T eine lin. Abb. ist, müsste auch die Umformung nach zeile 2 möglich sein...

    Ab hier komme ich mit dem Beweis nicht weiter...



  • das ist einfach, du musst nur ein gegenbeispiel finden um die behauptung zu widerlegen



  • Tipp: die Aussage ist falsch da sonst alle lineare Abbildungen injektiv wären (der Kern enthält dann nur den Nullvektor).


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