Äquivalenzrelationen



  • Ich versuche gerade zu verstehen, was der Prof mir heute über Äquivalenzrelationen erzählen wollte... Der Wikipedia Artikel dazu ist ja ziemlich eingängig, aber man kann das offenbar auch beliebig kompliziert ausdrücken :s

    Es ging schon los mit den Worten

    Ist F ein Untervektorraum von E, dann kann man auf E die Relation
    x~y => x-y Element F
    definieren. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation.

    Schon die erste Frage: müssen dann x und y auch selbst Element von F sein? Oder nur die Differenz?

    Später kam die Definition der Äquivalenzklasse:

    Das ist mir noch klar. Aber dann wurde die Definition anders aufgeschrieben:

    Da verstehe ich das = x + F nicht 😕
    Wird da jetzt ein Element aus E zu dem Untervektorraum F addiert? Und was für Elemente sind in F überhaupt drin?



  • x + F = {x + f : f in F}



  • Ah! *klick*
    danke 🙂

    Bleibt noch die erste Frage, was es mit F genau auf sich hat. Was sind da für Elemente drin? Ich kann mir da irgendwie nichts drunter vorstellen...



  • snOOfy schrieb:

    Ah! *klick*
    danke 🙂

    Bleibt noch die erste Frage, was es mit F genau auf sich hat. Was sind da für Elemente drin? Ich kann mir da irgendwie nichts drunter vorstellen...

    Es ist einfach ein Untervektorraum. Eine Gerade durch den Ursprung einer Ebene wäre zB einer. Oder eine Ebene in einem 3D-Raum.



  • Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge die selbst wieder ein Vektorraum ist. Zum beispiel kann man die reellen Zahlen (R) als Vektorraum der rationalen Zahlen (Q) sehen. Die Ganzen Zahlen (Z) sind eine Teilmenge von R aber Z ist kein Vektorraum, also kein Untervektorraum von R. piQ={piq | q in Q} ist selbst wieder ein Q-Vektorraum und eine Teilmenge von R also ein Untervektorraum von R.


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