Hinreichende und Notwendige Bedingung das f injektiv



  • Hallo Forum,

    es seien A und B Mengen und f eine Funktion:
    f(A, 😎 := A vereinigt B
    Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für A und B an damit f injektiv wird.

    Meine Antwort:
    Damit jedem Element der Wertemenge nur ein Ele der Grundmenge zugeordnet wird müssen natürlich A und B disjunkt sein. Dies ist hinreichend, da man dann ganz sicher davon ausgehen kann ein Ele des Wertebereichs auf die Grundmengen aufteilen kann. Fällt Euch noch eine notwendige Bedingung ein? Oder ist damit gemeint "eine Bedingung die sowohl hnreichend als auch notwendig ist".

    Vielen Dank

    Luigi



  • Merke: f(A, 😎 = f(B, A)



  • Aber ich kann doch nicht einfach die beiden Mengen vertauschen!
    Wenn s(a,t) = 1/2 * a * t^2 lautet kann ich doch nicht einfach s(t,a) schreiben und dann a^2 quadrieren. Wenn im Ergebnis ein Element von A ist weiß man das es aus A ist, egal ob nun A der erste Param ist oder der zweite.



  • Im Allgemeinen geht das natürlich nicht, bei deiner Funktion aber schon.



  • Mein letztes Posting war Stuss. Gestrichen.

    Also: Ich habe eine Zielmenge C := A vereinigt B. Ich soll nun A und B so einschränken das C injektiv wird. Also das nur maximal ein Paar (A_i, B_j) auf C führt. Meine Antwort war A geschnitten B soll leer sein. Der Einwand ist das (A_i, B_j) eine andere Eingabe für f ist als (B_j, A_i) und wir somit 2 Kombinationen haben die auf das gleiche C führt. Hmmm

    Persönlich fällt mir jetzt nur die trivials Lösung ein das beide Mengen leer sein müssen.



  • Luigi_X schrieb:

    Also: Ich habe eine Zielmenge C := A vereinigt B. Ich soll nun A und B so einschränken das C injektiv wird. Also das nur maximal ein Paar (A_i, B_j) auf C führt.

    Das ist auch Quatsch. Was soll das heißen, C sei injektiv? Und wo ist die Rede von Elementen von A und B? Ich versteh die Aufgabenstellung so:
    Sei M eine Menge und $$f : \mathcal{P}(M)\times \mathcal{P}(M) \rightarrow \mathcal{P}(M)$$ eine Funktion definiert durch $$(A,B) \mapsto f(A,B) := A \cup B$$. Zu zeigen ist, dass f injektiv ist, dass also aus f(A,B) = f(C,D) für A,B,C,D in P(M) folgt: (A,B) = (C,D), d.h. A=C und B=D.
    Wenn nicht, solltest du mal noch die Signatur von f nachliefern.



  • Ok, da habe ich etwas ungenau formuliert. Die Aufgabe ist:

    f : P(A) x P(B) -> P(A vereinigt B), f(C, D) := C vereinigt D
    Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung fuer A und B an, fuer die die Abildung auch injektiv wird.

    1. Ich darf nur A und B einschränken.
    2. Ihr sagt das auch die Position der Menge im Argument ausschlaggebend ist.

    Beispiel wenn A und B disjunkt.
    A := {1,2,3} und B := {a,b}
    f(A,B) ist doch jetzt auf jeden Fall injektiv? f({1,2}, {a}) = {1,2,a} Diese Kombination wird doch nur einmal erreicht. Was spielt die Reihenfolge der Mengen in f für eine Rolle?



  • Was ist P(M)? (Wobei die Aufgabe wohl auf disjunkt hinauslaeuft.)



  • P ist die Potenzmenge.
    Dann wär' die Sache erledigt.



  • Luigi_X schrieb:

    P ist die Potenzmenge.
    Dann wär' die Sache erledigt.

    Naja, ein Beweis ist das aber noch lange nicht. 🙂


Log in to reply