Faltung mit Delta-Funktion



  • Als erstes meine Frage:
    Was passiert, wenn man eine (beliebige) Funktion mit einer Deltafunktion faltet?

    Bei Wikipedia habe ich gelesen "Die Deltafunktion ist das neutrale Element der Faltung". Darunter würde ich verstehen, dass die Faltung mit einer Deltafunktion die Ausgangsfunktion nicht verändert.

    In einem Mathebuch habe ich gelesen "durch Faltung mit einer Deltafunktion wird die Ausgangsfunktion nur verschoben", also immerhin schon mal eine Änderung.

    Was ich mir nun überlegt habe:
    Sei die ursprüngliche Funktion ein einzelner Rechteckpuls. Soweit ich weiß, ist die Deltafunktion ein "Berg" wie etwa die Glockenkurve von Gauß. Wenn man die beiden Funktionen faltet, kann doch nicht wieder der Rechteckpuls bei rauskommen, oder?
    Man schiebt ja die Deltafunktion von links nach rechts über den Rechteckpuls und integriert über das Produkt der Funktionen. Wenn aber die Glockenkurve in den Rechteckpuls hineinrutscht, sollte die Faltungsfunktion von 0 aus ansteigen, und nicht gleich auf den Max-Wert springen wie beim Puls.



  • Bei Wikipedia habe ich gelesen "Die Deltafunktion ist das neutrale Element der Faltung". Darunter würde ich verstehen, dass die Faltung mit einer Deltafunktion die Ausgangsfunktion nicht verändert.

    In einem Mathebuch habe ich gelesen "durch Faltung mit einer Deltafunktion wird die Ausgangsfunktion nur verschoben", also immerhin schon mal eine Änderung.

    Ich denke Wikipedia meint die "Funktion" $$\delta(x)$$ und dein Mathebuch die "Funktion" $$\delta(x-a)$$.
    Außerdem denke ich, dass es nicht wirklich zielführend ist über die Delta-"Funktion" als Grenzwert einer Folge von Gaussfunktionen nachzudenken. Das wird zwar gerne als Rechtfertigung für die Definition genommen, aber mit solchen Grenzwerten kann man sich allerhand Widersprüche einhandeln. Besser ist diese Definition: http://de.wikipedia.org/wiki/Distribution_(Mathematik)#Delta-Distribution
    Damit kann man auch die Faltung sehr schön beschreiben.


  • Mod

    Die Deltafunktion ist keine Glockenkurve, es ist eigentlich auch gar keine Funktion sondern eine Distribution (das ist eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes). Eine Deltafunktion ist der Grenzwert einer Glockenkurve für eine Breite von 0.

    Man kann sie sich quasi so vorstellen, dass sie überall 0 ist, außer an der Stelle 0, wo sie derart unendlich groß ist, dass das Integral über die Deltadistribution wieder 1 ergibt, obwohl einzelne Punkte bekanntlich vom Maß 0 sind. Das ist natürlich nur zur Veranschaulichung gedacht und sollte nicht auf konkrete Rechnungen übertragen werden.

    Ja, die Deltadistribution ist das neutrale Element der Faltung. Die Diskrepanz zwischen dem Mathebuch und Wikipedia liegt darin, dass das Mathebuch wohl auch verschobene Deltafunktionen betrachtet.

    edit: Da war ich zu langsam... 😞



  • Man kann sich das so überlegen:

    (δf)(t)=δ(τ)f(tτ)dτ(\delta*f)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)f(t-\tau)\mathrm{d}\tau

    für alle Werte außer $$\tau=0$$ ist $$\delta(\tau)=0$$ und die "Fläche" der Dirac-Distribution ist 1.

    edit: ups, noch mehr zu langsam. Hab wohl zu lange gebraucht rauszufinden, dass die latex-Tags erwarten, dass man $$ selbst angibt 😃

    (und mit

    δ(t)δ(tt0)\delta(t) \to \delta(t-t_0)

    ist die Distribution bei $$\tau\ne t_0$$ null. Und man kommt die entsprechende Verschiebung)



  • Vielen Dank für die schnelle Hilfe 🙂

    Aus einer Aufgabenstellung "Welches Frequenzspektrum ergibt sich aus der Fourier-Transformation eines unendlich scharfen Delta-Pulses?" hatte ich fälschlicherweise geschlussfolgert, dass Deltafunktionen wohl nicht immer so "scharf" sind.

    Stimmt es dann, dass das Frequenzspektrum eines Delta-Pulses eine konstante Funktion ist? Und wenn dem so ist, welchen Wert hat sie dann?

    edit: OMG danke für den Tipp mit den $$, daran wär ich auch schon fast verzweifelt 😃



  • δ(τ)e2πjτνdτ\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)e^{- 2\pi j \tau \nu}\mathrm{d}\tau

    wieder der gleiche Fall. Wenn $$\tau=0$$, dann ist $$\delta(\tau)\ne 0$$ aber $$e^{- 2\pi j \tau \nu}=1$$ und die "Fläche" von delta ist immer noch 1



  • Ah danke, also konstant 1.

    Dann meine letzte Frage:

    Stimmt es, dass das Frequenzspektrum einer Rechteckfunktion eine Sinus Cardinalis Funktion ist?

    Ich hab das wie folgt berechnet:

    $$\begin{gathered} f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\forall t \in \left[ {0,{T_0}} \right]} \\ {0,sonst} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ F\left( \omega \right) = \int_{t = - \infty }^\infty {f\left( t \right){e^{ - i\omega t}}dt} \hfill \\ = \int_{t = - \infty }^0 {0 \cdot {e^{ - i\omega t}}dt} + \int_{t = 0}^{{T\_0}} {1 \cdot {e^{ - i\omega t}}dt} + \int\_{t = {T_0}}^\infty {0 \cdot {e^{ - i\omega t}}dt} \hfill \\ = \int_{t = 0}^{{T\_0}} {{e^{ - i\omega t}}dt} = \int\_{t = 0}^{{T_0}} {\cos \left( {\omega t} \right) - i\sin \left( {\omega t} \right)dt} \hfill \\ = \left[ {\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}} {\omega } + i\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}} {\omega }} \right]_{t = 0}^{{T\_0}} = \frac{{\sin \left( {\omega {T\_0}} \right)}} {\omega } + i\frac{{\cos \left( {\omega {T_0}} \right) - 1}} {\omega } \hfill \\ \end{gathered} $$

    Wenn ich das in 2D zeichne, lasse ich dann einfach den Imaginärteil weg?

    Und ist der Y-Achsenabschnitt dann bei T_0? Ich hab da den le'Hospital benutzt:

    $$F\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \frac{{\sin \left( {\omega {T_0}} \right)}} {\omega } = \mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} \frac{{\cos \left( {\omega {T\_0}} \right){T\_0}}} {1} = {T_0}$$


  • Du könntest die Rechteckfunktion auch als Überlagerung zweier Sigma-Sprungfunktionen beschreiben und so fouriertransformieren (Tabelle). Dann erhältst du einen Ausdruck mit Deltafunktionen.



  • Die Sprungfunktionen sind meines Wissens nach nicht Fourier-Transformierbar, da das Integral nicht konvergiert (laplace-trafo geht).
    Aber es stimmt, dass das Rechtecksignal fourier-transformiert die Spaltfunktion ergibt. siehe auch den Wikipedia-Artikel zur Spaltfunktion.

    Wenn du das Spektrum in 2D zeichnen willst (also Anteil(Omega) ), dann teilt man das (meist) in Betrag+Phase des Spektrums auf.



  • Normalerweise definiert man eine Rechteckfunktion immer als gerade Funktion, also rect(t) = a für -T0 <= t <= T0, und = 0 sonst. Dann verschwindet auch dein Imaginärteil.


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