Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung



  • Hallo, ich bin auf der Suche nach der Lösung der folgenden DGL:

    \[y''-2y'+10y=x^2 e^{2x}\]

    Eigentlich kann das doch nicht so schwierig sein, aber ich habe die echt nicht gelöst bekommen!

    Die homogene Lösung ist

    \[y_h(x) = a\cdot e^{(1\pm 3i)x}\]

    wenn ich mich nicht da schon verrechnet habe. Mit welchem Ansatz kann man nun eine partikuläre Lösung finden?



  • Den Ansatz $$y_p(x) = P_2(x) e^{2x}$$, wobei P2 ein Polynom zweiten Grades ist, würde ich mal versuchen.



  • Zu deiner homogenen Lösung: das +- ist doof. Alle homogenen Lösungen erhälst du als Linearkombination der Fundamentallösungen, hier also: y_h(x)=a_1 exp((1+3i)*x)+a_2 exp((1-3i)*x) (a_1, a_2 komplex!)

    Wobei es oft unüblich ist, sowas in komplexer schreibweise zu belassen. Wenn du komplexe Lösungen wegschmeisst, bleibt übrig
    y_h(x)=a_1 exp(1*x) sin(3x) + a_2 exp(1*x) cos(3x) (a_1, a_2 reell).



  • Ach ja... die inhomogene Lösung erhälst du natürlich mit Bashars Ansatz



  • Dessen bin ich mir bewusst 🙂 War nur zu faul das abzutippen und es ging mir ja vor allem um die partikuläre Lösung.

    Dann probier ich es mal mit dem Ansatz, danke für die Antwort!



  • Hmm ich weiß nicht so recht, was ich machen soll...
    Ich habe den Ansatz zwei mal abgeleitet und eingesetzt, aber das führt irgendwie zu nichts:

    \[\begin{gathered} {y\_p}\left( x \right) = {P\_2}\left( x \right){e^{2x}} = {e^{2x}}\left( {{a\_0} + {a\_1}x + {a_2}{x^2}} \right) \hfill \\ y\_p^\prime = 2 \cdot {e^{2x}}\left( {{a\_0} + {a\_1}x + {a\_2}{x^2}} \right) + {e^{2x}}\left( {{a\_1} + 2{a\_2}x} \right) \hfill \\ y\_p^\prime = {e^{2x}}\left( {2{a\_0} + {a\_1} + \left( {2{a\_1} + 2{a\_2}} \right)x + 2{a\_2}{x^2}} \right) \hfill \\ y\_p^{\prime \prime } = 2 \cdot {e^{2x}}\left( {2{a\_0} + {a\_1} + \left( {2{a\_1} + 2{a\_2}} \right)x + 2{a\_2}{x^2}} \right) + {e^{2x}}\left( {2{a\_1} + 2{a\_2} + 4{a_2}x} \right) \hfill \\ y\_p^{\prime \prime } = {e^{2x}}\left( {4{a\_0} + 4{a\_1} + 2{a\_2} + \left( {4{a\_1} + 8{a\_2}} \right)x + 4{a_2}{x^2}} \right) \hfill \\ einsetzen: \hfill \\ {e^{2x}}\left( {4{a\_0} + 4{a\_1} + 2{a\_2} + \left( {4{a\_1} + 8{a\_2}} \right)x + 4{a\_2}{x^2}} \right) - 2{e^{2x}}\left( {2{a\_0} + {a\_1} + \left( {2{a\_1} + 2{a\_2}} \right)x + 2{a_2}{x^2}} \right) \hfill \\ \+ 10{e^{2x}}\left( {{a\_0} + {a\_1}x + {a_2}{x^2}} \right) = {x^2}{e^{2x}} \hfill \\ {e^{2x}}\left( {10{a\_0} + 2{a\_1} + 2{a\_2} + \left( {10{a\_1} + 4{a\_2}} \right)x + 10{a\_2}{x^2}} \right) = {x^2}{e^{2x}} \hfill \\ \end{gathered} \]


  • Beide Seiten durch e^2x teilen und dann Koeffizientenvergleich.



  • Ok, ich habs versucht:

    \[\begin{gathered} 10{a\_2} = 1\quad \Rightarrow \quad {a\_2} = \frac{1} {{10}} \hfill \\ 10{a\_1} + 4{a\_2} = 0\quad \Rightarrow \quad 10{a_1} = - \frac{4} {{10}}\quad \Rightarrow \quad {a_1} = - \frac{1} {{25}} \hfill \\ 10{a\_0} + 2{a\_1} + 2{a\_2} = 0\quad \Rightarrow \quad 10{a\_0} - \frac{2} {{25}} + \frac{2} {{10}} = 0\quad \Rightarrow \quad {a_0} = - \frac{3} {{250}} \hfill \\ einsetzen: \hfill \\ {y_p}\left( x \right) = {e^{2x}}\left( { - \frac{3} {{250}} - \frac{1} {{25}}x + \frac{1} {{10}}{x^2}} \right) \hfill \\ Allgemeine\:Lsg: \hfill \\ y = {y\_h} + {y\_p} = {e^x}\left( {{c\_1}\cos \left( {3x} \right) + {c\_2}\sin \left( {3x} \right)} \right) + {e^{2x}}\left( { - \frac{3} {{250}} - \frac{1} {{25}}x + \frac{1} {{10}}{x^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

    Die Lösung scheint nicht zu stimmen. Zumindest hat Maxima nicht 0 rausbekommen, als ich es mal in die DGL eingesetzt und die rechte Seite davon abgezogen habe.



  • Was hat Maxima dann rausbekommen? Mal abgesehen davon, dass du dich verrechnet haben könntest (was ich nicht glaube), muss das so stimmen ... yp ist ja gerade so bestimmt worden, dass es eine Lösung der DGL ist. Hätte höchstens sein können, dass es keine Lösung gibt (wenn man den Polynomgrad zu niedrig angesetzt hätte z.B.).



  • Oha, es kommt doch 0 raus^^
    Maxima hatte da einen unglaublich komplizierten Ausdruck berechnet, so dass ich keine Chance sah... aber als ich auf "vereinfachen" geklickt hab kam 0 raus.

    Dann wird es wohl so stimmen 🙂


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