Brauche eine Funktion mit bestimmten eigenschaften

Mathe-Unterricht ist schon was länger her. Ich bräuchte eine Funktion mit folgenden Eigenschaften (vielleicht nicht immer ganz korrekt formuliert, aber hoffentlich dennoch verständlich):

f(0, a) = 0
f(1, a) = 1
f(x, 0.5) = x

f(x, a) soll monoton steigend sein für x € [0, 1] und a € ]0, 1[ (im Grunde muss die Funktion auch nur für Werte aus diesem Intervall definiert sein)

Etwas schwammig, aber ich weiß nicht, wie ich es besser ausdrücken soll: je kleiner a, desto geringer soll die Steigung bei f(0, a) sein, je größer a, desto größer auch die Steigung bei f(0, a). Aus f(x, 0.5) = x ergibt sich ja, dass die Steigung für a = 0.5 genau 1 ist.

Damit so ungefähr klar wird, was ich gerne hätte hier ein Bild (mit Paint erstellt):
http://x76.img-up.net/?up=graphenitd65.png

Könnte mir jemand eine Funktion entwickeln, die in diese Eigenschaften hat oder zumindest sagen wie ich da ranehen könnte eine solche Funktion zu entwickeln?

SeppJ

f(x,a)=x^(1,5-a)

Ich hoffe, ich hab's richtigrum. Wenn nicht, einfach um a=0.5 spiegeln.

edit: Und zur Entwicklung: Ich habe mir überlegt, dass ich am besten irgendeine einfache Funktion von x nehme, der man noch einen weiteren Parameter verpassen kann. Für einen bestimmten Parameter muss die Funktion einfach zu f(x)=x werden. Da habe ich zunächst an die Exp-Funktion gedacht, weil das auf dem Bild schon so nach exp und log aussieht. Aber mir fiel keine Möglichkeit ein, eine exp Funktion mittels eines Parameters in eine log funktion umzubiegen. Dann habe ich an die zweite wichtige Funktionsklasse gedacht: Potenzen. Da kann man nämlich auch f(x)=x einfach hinbekommen. Und das Bildchen hat mich auch ein wenig an Wurzeln und Parabeln erinnert. Das habe ich einfach eingesetzt und passend verschoben, so dass f(x,0.5)=x war. Die Nebenbedingung f(0)=0 und f(1)=1 hatte ich bis dahin überlesen, aber das passte dann zufällig auch schon. Ansonsten hätte ich noch einen Skalierungsfaktor davorgesetzt.

Bashar

Erinnert an die Gammakorrektur, also im Grunde so wie SeppJ das vorgeschlagen hat.