Reelle Zahlen - Warum sind Wurzeln nur positiv?



  • Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?



  • mathematikpraktikant schrieb:

    Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?

    Einfach eine willkürliche Festlegung der Wurzelfunktion, die insofern paraktrisch ist, daß die Wurzelfunktion jetzt eine "stinknormale" Funktion ist mit genau einem y-Wert zu jedem erlaubten x-Wert.

    Also die Wurzelfunktion spuckt nur die positive Wurzel aus. Spricht man aber von "die Wurzeln" oder so, meint man alle. Außer man sagt "die Wurzel", dann mmeint man doch nur die positive. Komisch.


  • Mod

    mathematikpraktikant schrieb:

    Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?

    Was du meinst sind die Lösungen der Gleichung x^2=y. Dies hat sowohl positive als auch negative Lösungen (für y>0), genannt die Wurzeln von y. Die Wurzelfunktion von y ist aber nicht die Lösung dieser Gleichung sondern nur eine der Lösungen dieser Gleichung.



  • Diese Festlegung ist insofern intuitiver, als dann der Funktionswert das gleiche Vorzeichen wie das Argument hat. Wichtig ist das unter anderem auch in der Physik (E = m/2 * v^2, also v = sqrt(2E/m). Wenn jetzt sqrt als die negative Wurzel definiert wäre, hätte man als Ergebnis immerzu negative Geschwindigkeiten, was das ganze dann etwas komplizierter macht).



  • ipsec schrieb:

    Diese Festlegung ist insofern intuitiver, als dann der Funktionswert das gleiche Vorzeichen wie das Argument hat. Wichtig ist das unter anderem auch in der Physik (E = m/2 * v^2, also v = sqrt(2E/m). Wenn jetzt sqrt als die negative Wurzel definiert wäre, hätte man als Ergebnis immerzu negative Geschwindigkeiten, was das ganze dann etwas komplizierter macht).

    Schlechte Begruendung, da man sich in der Physik an der Realitaet orientiert und manche formale Loesung entfaellt.



  • wenn ich einen quadratischen Tisch mit Fläche 4 qm bauen soll, dann rechne ich als Seitenlänge aus: sqrt(4 qm) = 2 m und nicht "minus 2 m".

    Die positive Wurzel ist hier praxisnäher. Außerdem gilt dann die handliche Gleichung

    |x| = sqrt(x^2)
    


  • mathematikpraktikant schrieb:

    Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?

    Nur der Interesse halber, was ist eine reelle Negative Wurzel?



  • Fedaykin schrieb:

    mathematikpraktikant schrieb:

    Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?

    Nur der Interesse halber, was ist eine reelle Negative Wurzel?

    Minus zwei ist eine relle, negative Wurzel( auch zweite Wurzel, oder Quadratwurzel) von vier, denn minus zwei mal minus zwei ergibt vier.



  • knivil schrieb:

    ipsec schrieb:

    Diese Festlegung ist insofern intuitiver, als dann der Funktionswert das gleiche Vorzeichen wie das Argument hat. Wichtig ist das unter anderem auch in der Physik (E = m/2 * v^2, also v = sqrt(2E/m). Wenn jetzt sqrt als die negative Wurzel definiert wäre, hätte man als Ergebnis immerzu negative Geschwindigkeiten, was das ganze dann etwas komplizierter macht).

    Schlechte Begruendung, da man sich in der Physik an der Realitaet orientiert und manche formale Loesung entfaellt.

    Eine negative Geschwindigkeit ist durchaus definiert. Also v = -4 m/s heißt, der Körper bewegt sich mit 4 m/s in die entgegengesetzte Richtung zu der grade betrachteten.
    Ich stelle mir das blos blöd vor, wenn man einen längeren Term mit mehreren Wurzeln hat und dann immer überlegen muss, wohin man eigentlich guckt.


  • Mod

    ipsec schrieb:

    knivil schrieb:

    ipsec schrieb:

    Diese Festlegung ist insofern intuitiver, als dann der Funktionswert das gleiche Vorzeichen wie das Argument hat. Wichtig ist das unter anderem auch in der Physik (E = m/2 * v^2, also v = sqrt(2E/m). Wenn jetzt sqrt als die negative Wurzel definiert wäre, hätte man als Ergebnis immerzu negative Geschwindigkeiten, was das ganze dann etwas komplizierter macht).

    Schlechte Begruendung, da man sich in der Physik an der Realitaet orientiert und manche formale Loesung entfaellt.

    Eine negative Geschwindigkeit ist durchaus definiert. Also v = -4 m/s heißt, der Körper bewegt sich mit 4 m/s in die entgegengesetzte Richtung zu der grade betrachteten.
    Ich stelle mir das blos blöd vor, wenn man einen längeren Term mit mehreren Wurzeln hat und dann immer überlegen muss, wohin man eigentlich guckt.

    Dieser Fall kommt nie vor. Man hat es entweder mit Geschwindigkeitsbeträgen zu tun oder mit (vektoriellen) Geschwindigkeiten. Und wenn man richtig rechnet dann kommen auch nur bei ersterem Wurzeln vor und da ist es dann ja auch richtig.

    Zum Beispiel ist es bei E=m/2*v^2 nicht möglich den Geschwindigkeitsvektor zu berechnen, da die Richtungsinformation beim Quadrieren verloren gegangen ist. Man kann nur aussagen, dass er |v|=sqrt(2E/m) erfüllt. Und da ist das positive Ergebnis der Wurzel genau das richtige.



  • mathematikpraktikant schrieb:

    Fedaykin schrieb:

    mathematikpraktikant schrieb:

    Huhu,
    warum definiert man eine (reelle) Wurzel nur positiv, obwohl es auch negative gibt?

    Nur der Interesse halber, was ist eine reelle Negative Wurzel?

    Minus zwei ist eine relle, negative Wurzel( auch zweite Wurzel, oder Quadratwurzel) von vier, denn minus zwei mal minus zwei ergibt vier.

    Achso, das ist gemeint. Ich vermute eher, dass das wegen der Eindeutigkeit so ist. AFAIK ist mathematisch fest vorgeschrieben das jede Funktion nur für jeden X Wert einmal definiert sein darf. Streng genommen wäre dann die Wurzelfunktion per Definition keine Funktion mehr.



  • SeppJ schrieb:

    ipsec schrieb:

    knivil schrieb:

    ipsec schrieb:

    Diese Festlegung ist insofern intuitiver, als dann der Funktionswert das gleiche Vorzeichen wie das Argument hat. Wichtig ist das unter anderem auch in der Physik (E = m/2 * v^2, also v = sqrt(2E/m). Wenn jetzt sqrt als die negative Wurzel definiert wäre, hätte man als Ergebnis immerzu negative Geschwindigkeiten, was das ganze dann etwas komplizierter macht).

    Schlechte Begruendung, da man sich in der Physik an der Realitaet orientiert und manche formale Loesung entfaellt.

    Eine negative Geschwindigkeit ist durchaus definiert. Also v = -4 m/s heißt, der Körper bewegt sich mit 4 m/s in die entgegengesetzte Richtung zu der grade betrachteten.
    Ich stelle mir das blos blöd vor, wenn man einen längeren Term mit mehreren Wurzeln hat und dann immer überlegen muss, wohin man eigentlich guckt.

    Dieser Fall kommt nie vor. Man hat es entweder mit Geschwindigkeitsbeträgen zu tun oder mit (vektoriellen) Geschwindigkeiten. Und wenn man richtig rechnet dann kommen auch nur bei ersterem Wurzeln vor und da ist es dann ja auch richtig.

    Einspruch! Der Fall kommt ständig vor, wenn man Vektoren in einer Dimension betrachtet. Beispiel zentraler Stoß: Energie- und Impulserhaltungssatz in einer Dimension. v1=5m/s, v2=-10m/s, m1=m2, vollständing inelastisch, was ist die Geschwindigkeit nach dem Stoß? Tipp: Sie ist kleiner als Null.

    Und wenn in der Physik eine Gleichung der Art x^2=a vorkommt, muss man sich schon immer überlegen, ob jetzt nur die negative, positive oder gar beide Lösungen (Wurzeln) physikalisch sinnvoll sind. In der Regel ist das aber ziemlich einfach. Ist x ein Vektor, gibt es ja i.A. allerdings sogar noch viel mehr Lösungen.


  • Mod

    @Mr.Fister: In der Schulphysik vielleicht, aber nicht, wenn man es korrekt rechnet.

    Die Geschwindigkeit zweier Körper nach einem inelastischen Stoß ist

    \begin{equation*} \vec{v}_{1+2}=\frac{m\_1\vec{v\_1}+m\_2\vec{v}\_2}{m\_1+m\_2} \end{equation*}

    Ich sehe keine Wurzeln und keine negativen Lösungen von quadratischen Gleichungen. Ehrlich gesagt sehe ich noch nicht einmal wie du mit vereinfachten Formeln auf so etwas kommen willst.

    Und wenn in der Physik eine Gleichung der Art x^2=a vorkommt, muss man sich schon immer überlegen, ob jetzt nur die negative, positive oder gar beide Lösungen (Wurzeln) physikalisch sinnvoll sind. In der Regel ist das aber ziemlich einfach. Ist x ein Vektor, gibt es ja i.A. allerdings sogar noch viel mehr Lösungen.

    Das hab ich doch geschrieben. Wenn du es richtig machst, solltest du aber gar nicht erst in die Verlegenheit kommen, solch eine Entscheidung treffen zu müssen. Denn wenn du in die Verlegenheit kommst eine Wurzel zu ziehen, arbeitest du schon vorher mit Betragsquadraten und musst die Entscheidung gar nicht mehr treffen.
    Es gibt tatsächlich ein paar Lösungen gewisser Gleichungen die zwar mathematisch richtig sind, aber physikalisch nicht vorkommen weil sie zum Beispiel die Kausalität verletzen, aber das sind keine Fälle wo das Vorzeichen einer Wurzel eine Rolle spielt sondern wo ein paar willkürliche Entscheidungen bei der Lösung des Systems zeigen, dass man doch nicht hätte so willkürlich entscheiden dürfen.


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