Irrationale Zahlen aus nicht irrationalen Zahlen erzeugen



  • Hallo,
    Welche Möglichkeiten gibt es, aus einer nicht irrationalen Zahl eine irrationale Zahl zu machen (außer natürlich "iteraktion" mit einer irrationalen Zahl).

    Mir fallen nur ein:
    -Wurzelfunktion
    -Exponentialfunktion
    -Logarithmen
    -Trigonomische Funktionen

    Gibt es da noch mehr?



  • Gamma(1/2) = sqrt(pi)
    Zeta(2) = pi^2/6
    ...
    

    (natürlich auch mit anderen Argumenten).

    x^y kann auch irrational sein, wenn x und y rational sind (z.B. x=2, y=1/2)



  • War's wohl nicht ...



  • ich kenne zu den genannten noch viele weitere Möglichkeiten, aber bevor ich mir Mühe mache, will ich erstmal "Danke" oder sowas lesen.



  • zum beispiel schrieb:

    will ich erstmal "Danke" oder sowas lesen.

    Aehm ... Erziehung ist wohl schwer, wenn das Medium ein Forum ist. Ueberlass das doch anderen, wie z.B. den Eltern.



  • soviel Zeit muß sein ⚠ 😃



  • zum beispiel schrieb:

    ich kenne zu den genannten noch viele weitere Möglichkeiten, aber bevor ich mir Mühe mache, will ich erstmal "Danke" oder sowas lesen.

    Bevor du ein "Danke" bekommst, solltest du wenigstens EINE weitere Möglichkeit nennen (Wurzel-, Exponentialfunktionen und Interaktion mit Irrationalen Zahlen habe ich im Eingangspost genannt).


  • Mod

    Irrational schrieb:

    zum beispiel schrieb:

    ich kenne zu den genannten noch viele weitere Möglichkeiten, aber bevor ich mir Mühe mache, will ich erstmal "Danke" oder sowas lesen.

    Bevor du ein "Danke" bekommst, solltest du wenigstens EINE weitere Möglichkeit nennen (Wurzel-, Exponentialfunktionen und Interaktion mit Irrationalen Zahlen habe ich im Eingangspost genannt).

    😕 Er hat doch 2 genannt, Gamma- und Zetafunktion.

    So ziemlich alle Funktionen die es Wert sind einen eigenen Namen zu haben, sind dazu in der Lage. Der Effekt der hier zugrunde liegt ist, dass die Funktionswerte die Grenzwerte unendlicher Reihen sind. Da die rationalen Zahlen nicht Cauchy-vollständig sind, kommen dabei auch irrationale Zahlen als Grenzwerte raus.

    Außerdem kann man noch ausnutzen, dass die rationalen algebraisch nicht abgeschlossen sind, aber das ist nur komplizierte Mathematikersprechweise dafür, dass Wurzeln rationaler Zahlen nicht unbedingt rational sind.

    Also im Prinzip hat man zwei Methoden: Cauchy-Folgen (oder alternativ Dedekindsche Schnitte) um die "lückenhaftigkeit" der rationalen Zahlen auszunutzen oder die Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten (um die algebraische Nicht-Abgeschlossenheit) auszunutzen.

    Es gibt natürlich noch andere Operationen denen gegenüber die rationalen Zahlen nicht abgeschlossen sind, aber bei denen die mir einfallen schiest man über's Ziel hinaus und landet nicht in den irrationalen Zahlen, sondern bei noch weiter erweiterten Zahlbegriffen.



  • Irrational schrieb:

    Bevor du ein "Danke" bekommst, solltest du wenigstens EINE weitere Möglichkeit nennen (Wurzel-, Exponentialfunktionen und Interaktion mit Irrationalen Zahlen habe ich im Eingangspost genannt).

    ich habe Gamma und Zeta genannt. Meine restlichen Vorschläge (es gibt da einen Satz aus der transzendentalen Zahlentheorie für eine ganze Klasse von Zahlen) habe ich dummerweise vergessen 😞



  • ach, sch**** auf meine Vorsätze.

    Jede Zahl, die sich nicht aus einem endlich großen Ausdruck aus 1, +, -, *, /(!=0) darstellen läßt, ist irrational, denn die rationalen Zahlen sind ein Körper.

    Außerdem gilt der Spezialfall des Satzes von Gel'fond-Schneider: wenn a rational und nicht 0, 1 ist, dann ist a^b transzendent (also irrational), wenn b irrational und algebraisch ist.



  • Edit: war quatsch


Log in to reply