Ansatz gesucht



  • Aufgabe 31:
    Bestimmen Sie Werte für A, B und C, so dass die Integrationsformel
    
    integral 0 bis 2 über f(x)dx = Af(0) + Bf(1) + Cf(2)
    
    exakt ist für alle Polynome vom Grad 0, 1, 2, . . . , n. Dabei soll n maximal gewählt werden. Wie
    groß ist n?
    

    Ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll...Tipp?



  • Taylorabgleich und schauen, wann das Restglied verschwindet/erscheint? Oder aber du kannst einfach Integral deiner Approximation gleich dem Integral des Polynoms gleichsetzen. Fuer f(0) ... setzt du eben dein Polynom an der Stelle 0 ein etc.

    $f(x) = a\_0 + a\_1x+ a_2x^2 + .. $\\ $A f(0) + B f(1) + C f(2) = \int\_0^2 a\_0 + a\_1x + a\_2x^2 + .. dx$

    Koeffizientenvergleich (also der a_0, a_1, a_2, ..) sollte ein Gleichungssystem ergeben. Nimmt man nur die ersten 3, so ist es eindeutg loesbar. Es sollte die Simpsonregel herauskommen, also 1/3, 4/3, 1/3 wobei n maximal 2 ist.

    Sorry, die Simpsonregel ist exakt fuer Polynome 3ten Grades. Die Gleichung fuer a_3 wird ebenfalls erfuellt. Demnach ist n = 3.


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