Wie kann man Nabla auf (x^T*M*x) anwenden?



  • Hallo,

    ich möchte folgendes Berechnen:

    $ \nabla (\vec x^T \cdot M \cdot \vec x) $

    Dabei ist M eine Matrix und x einfach der Vektor (x,y,z)

    Rauskommen soll natürlich folgendes:

    $ 2 \cdot M \cdot \vec x $

    Wie kann ich das formal berechnen, ohne in die Komponenten gehen zu müssen?



  • Geht glaube ich nicht. Es sei denn man schlaegt eine Identitat nach, wo Matrizen einbezogen werden. Die wurde dann aber auch einfach in den Komponenten ausgerechnet.
    So schwierig ist es in der Summenschreibweise aber auch nicht:

    $[\vec\nabla(\vec x^T M \vec x)]\_i = \partial\_i (x\_j M\_{jk} x\_k) = (\partial\_i x\_j) M\_{jk} x\_k + x\_j M_{jk} (\partial\_i x\_k) = M_{jk}(\delta_{ij}x\_k + \delta\_{ik} x\_j) = M\_{ik}x\_k + M\_{ji}x\_j = [M\vec x + M^T \vec x]\_i$

    Und dann sieht man dass deine Formel auch nur fuer symmetrische Matrizen stimmt.



  • Ja die Matrix ist symmetrisch. Ich denke so wie du es geschrieben hast werde ich es machen, ich wollte nur verhindern das ich die gleiche Rechnung 3 mal hinschreiben muss. Aber so ist es relativ hübsch. Vielen Dank


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