Relativitätstheorie - 2 Fragen

[Sinthoras]

Hallo,

wie angekündigt, habe ich zwei kleine Fragen zur Relativitätstheorie:
(i) Sind die Vorzeichen beim Viererskalarprodukt reine Konvention? Also: (+,-,-,-) oder (-,+,+,+).
Hat eine Lorentz-Metrik nicht immer Sylvester-Signatur (-,+,+,+)? Macht das da kein Problem, wenn ich beim Skalarprodukt alles umdrehe?
(ii) Was ist der Unterschied zwischen Lorentz-Metrik und Minkowski-Metrik? Ich habe beides immer in sehr ähnlichem Zusammenhang gehört (bis auf die oben angesprochene Vorzeichenproblematik).

Danke, die Antwort helfen mir sicherlich, so ein paar Dinge richtig einzuordnen.

[Mr.Fister]

(i) Reine Konvention, in der ART nimmt man meist -+++, in der Feldtheorie meist +---. Nein. Nein, außerdem ist es eigentlich kein Skalarprodukt (da nicht positiv definit), eher eine nicht ausgeartete, symmetrische Bilinearform (auf dem Tangentialraum).
(ii) Lorentzmetrik ist jede Metrik mit genau einem - (oder +) in der Signatur, Minkowskimetrik ist gerade diag(-1,1,1,1), glaube ich.

[Sinthoras]

Vielen Dank!
(i) Ja, das mit der Definitheit war mir klar, uns wurde es nur unter diesem Namen verkauft.
(ii) Also habe ich in der RT eine Minkowski-Metrik, welche der Spezialfall einer Lorentzmetrik ist, richtig?
Wie hängt diese Metrik denn mit dem "Skalarprodukt" zusammen? Wird sie irgendwie dadurch induziert? (Auf die kanonische Art - als d(x,y) = || x - y || = sqrt ( <x-y,x-y> ) - ja wohl nicht, oder? Aber gibt es da irgendeine Analogie?)

Und:
Kennt jemand eine gute Einführung in die ART, speziell die math. Grundlagen? Insbesondere Lorentz-Mannigfaltigkeiten wären mir wichtig.
Wenn sich das auf mehrere Bücher "aufteilt", wäre das auch kein Problem.

[Mr.Fister]

Ja, die Minkowskimetrik ist vereinfacht gsprochen einfach die flache Lorentzmetrik.

Man zieht einfach nie die Wurzel. Für einen Vierervektor x kann dann g(x,x)<0 sein, aber das macht nichts. Man unterscheidet dann da einfach bswp. zwischen zeitartigen, raumartigen und zeitartigen Abständen, wenn x in diesem Falle ein Verbindungsvektor zweier Ereignisse in der flachen Raumzeit ist. Will man die Länge einer raumartigen Geodäte integriert man aber in der Tat über sqrt(g(x',x'))dt (wobei ich mit x' die Zeitableitung meine).

Als Literatur kann ich immer wieder nur Rainer Oloff nennen wenn es um die Mathematik der ART geht
Wer sich mehr für die Physik interessiert, der ist am besten mit dem Buch von Sean Carroll bedient (sein Skript gibt es gratis im Netz und ist streckenweise mit dem Buch identisch). Was nicht heißen soll dass die Mathematik da zu kurz kommt.

[C14]

nochmal zu ii):

Das Problem ist hier glaube ich der Begriff "Metrik" der Physiker.
Der ist irreführend und hat mit einer Metrik im mathematischen Sinn erstmal nichts zu tun, hat mich auch schon oft geärgertt

Die "Metrik" der Physiker IST das (Pseudo-)Skalarprodukt... nicht verwirren lassen

Wenn du wirklich eine (Pseudo-)Metrik im mathematischen Sinne auf der Raumzeit konstruieren willst, musst du wie Fister schon sagte, die "Metrik" entlang von Geodäten integrieren.
Das macht man aber explizit eher selten.

PS: Oloff kann ich für die mathematischen Grundlagen auch sehr empfehlen!

[Mr.Fister]

Ja, mit 'Metrik' meine ich immer den metrischen Tensor. Das ist nicht die Metrik eines metrischen Raumes (wobei man kompakte Mannigfaltigkeiten immer zu einem metrischen Raum machen kann). Wollte keine Verwirrung stiften!

[Sinthoras]

Also ist die Metrik dann keine Metrik, sondern ein Skalarprodukt, welches kein Skalarprodukt ist - dann sind wir uns ja einig.
Im Ernst:
Meine Minkowskimetrik ist also eine symmetrische Bilinearform mit Signatur (-,+,+,+), welche der Spezialfall einer Lorentz-Metrik (bzw. wieder einer Bilinearform) ist?
Und die Minkowski-Metrik IST direkt das Vierer-"Skalarprodukt", die Begriffe sind also völlig synonym?
Das ist echt gut zu wissen und beseitig schonmal eine Menge Verwirrung, vielen Dank.
Heißt das auch, dass ich mit einer anderen Vorzeichenkonvention für das Viererskalarprodukt eine andere Signatur der Minkowski-/ Lorentz-Metrik bekomme? Das ist in Ordnung?

P.S. Danke auch für die Buchempfehlung, den Oloff sehe ich mir dann mal an.

[Mr.Fister]

Du scheinst nur von der speziellen Relativitätstheorie (flache Raumzeit) zu sprechen. Da kann man das denke ich so sagen. Der Begriff "Pseudoskalarprodukt" ist wahrscheinlich angebrachter.

Was ich meinte: Die Minkowskimetrik ist ds^2=-dt2+dx^2+dy2+dz^2. In der Kosmologie verwendet man meist die sogenannte Robertson-Walker-Metrik: ds^2=-dt2+a^2(t)*(dx2+dy^2+dz2). Die hat ebenfalls die Signatur (-+++) und ist damit eine Lorentzmetrik. Aber eben nicht die Minkowskimetrik, weil sie keine flache Raumzeit beschreibt.

[Sinthoras]

Mr.Fister schrieb:

(...)
Was ich meinte: Die Minkowskimetrik ist ds^2=-dt2+dx^2+dy2+dz^2.

Ja, die hatte ich auch im Kopf. So und mit umgekehrten Vorzeichen halt. Verwendet man die auch in der ART?
Oder funktioniert das nur mit anderen Lorentzmetriken? (So verstehe ich das unten stehend zitierte jedenfalls.)

In der Kosmologie verwendet man meist die sogenannte Robertson-Walker-Metrik: ds^2=-dt2+a^2(t)*(dx2+dy^2+dz2). Die hat ebenfalls die Signatur (-+++) und ist damit eine Lorentzmetrik. Aber eben nicht die Minkowskimetrik, weil sie keine flache Raumzeit beschreibt.

Ich meinte auch nur, dass das eine Lorentz-Metrik ist, nicht zwangsläufig _die_ Lorentz-Metrik. Sorry, wenn das unklar ausgedrückt war.

[Sinthoras]

Ok, die Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen liefert doch (in Abhängigkeit von Energie/ Impuls) lokal Krümmungstensoren und die geben mir die Metrik vor, oder?
(z.B. die Minkowski-Metrik, wenn die Raumzeit lokal flach ist?)
Und diese Metrik enthält dann alle Informationen, die ich über die Raumzeit habe/ haben will?
Gilt diese Metrik dann nur lokal oder wie funktioniert das?
Nur dass ich da mal ein bisschen Überblick bekomme, bevor ich tiefer einsteige.
Dankeschön.