Numerik Klausrvorbereiungsaufgabe - auslöschungsfreier Algorithmus



  • Zum ersten eine eigentlich einfache Aufgabe, an der ich dennoch scheitere:

    Kann mir jemand erklären, wie ich diese beiden Formeln ineinander überführen kann?

    sqrt(9801) - sqrt(9800) = 1/ (sqrt(9801) + sqrt(9800))
    

    Als nächstes:

    Geben sie einen auslöschungsfreien Algorithmus zur Berechnung von

    g(x,µ) = (1 - cos(µx)) / (µ^4x^2)
    

    an.

    Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste ich versuchen das Minus irgendwie zu eliminieren. Nur wie?!



  • Multiplizieren die erste Gleichung mit (sqrt(9801) + sqrt(9800)) und rechne es aus.

    Bei der zweiten Formel: erweitere den Bruch mit (1 + cos(µx)) und bedenke dass cos^2 + sin^2 = 1 ist.

    In beiden Fällen lautet das Stichwort: 'binomische Formel'



  • ok, ich komme damit anscheinend immer noch nicht ganz zurecht...

    wenn ich erweitert habe steht bei mir:

    sin^2(µx) /
     ((µ^4*x * (1+ cos(µx))
    

    1 + cos(µx) kann doch immer noch Auslöschung ergeben, oder?

    Achja, weiterhin stand in der Aufgabe dass man eine Genauigkeit von 10^-10 für x in ]0,10] und µ in ]0, 1/100] haben soll und das nachweisen muss.

    Beides kommt mir in keiner Weise vertraut vor.

    (die Blätter, die ich durchrechne, sind vom letzten Jahr , seitdem wurde der Dozent gewechselt, kann sein dass ich das gar nicht können muss oder kann, aber sicher ist sicher)



  • Du hast im Nenner ein ^2 unterschlagen. Bei solchen Auslöschungsverhinderungsdingern heisst das Zauberwort "Fallunterscheidung". Am Argument erkennst du doch schon, ob cos(t) positiv oder negativ ist.

    Für deine Fehlergeschichte musst du mal versuchen, den Fehler abzuschätzen. Aus deiner Beschreibung verstehe ich aber noch nicht, wodurch du den Fehler garantieren sollst? Kannst du die Rechengenauigkeit vorgeben? Wie genau kannst du sin und cos auswerten?



  • Um Missverständniss zu vermeiden zitiere ich die Aufgabenstellung:

    Konstruieren Sie einen auslöschungsfreien und effizienten Algorithmus zur Berechnung der Funktion
    
    g(x,µ) = ( 1- cos(µx) ) / ( µ^4 x^2 )
    
    mit einer relativen [ich denke das wäre noch wichtig geweses, Anm d. A.] Genauigkeit  von 10^-10 im Bereich x in ]0,10] und µ in  ]0, 1/100].
    (Weisen Sie die geforderte Genauigkeit für ihren Algorithmus nach!)
    

    Bin damit hoffnunglos überfordert -.-


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