höhe der wasserfüllung in x sek.



  • ich hab ein kegel, wo mir der radius/durchmesser, höhe und der volumstrom ml/s bekannt ist
    dadurch ist mir auch das volumen bekannt

    aber wie bekomme ich nun raus, wie hoch das wasser in x sek ist?
    bei einem zylinder wäre es ja einfach aber beim kegel habe ich das problem, das das wasser ja nicht gleimäßig hoch steig aufgrund seiner form


  • Mod

    Füllst du das Wasser von der Spitze oder vom Boden aus ein?

    Auch egal, ich gebe dir einfach eine Anleitung wo das Wasser von der Spitze aus eingefüllt wird, aber die ganz einfach auf die andere Variante anpassbar ist:
    Das Volumen eines Kegels kann man berechnen, indem man Kreisscheiben zusammenzählt. Die Fläche einer Kreisscheibe ist pir^2. Die Frage ist nun, was ist r in Abhängigkeit von der Höhe h über dem Boden?
    Das kann man sich ganz einfach hinmalen, das ist r(h) = R
    (H-h)/H, wobei R der Radius der Grundfläche ist und H die Gesamthöhe des Kegels.
    Somit hat man das Volumen eines Kegels der Gesamthöhe H, Grundradius R bis zu einer Höhe x:

    \begin{equation*} V(x) = \int\_0^x \pi r(h)^2dh = \frac{\pi R}{H^2} \int\_0^x (H-h)^2 dh = \frac {\pi R^2\left (H^2 x - H x^2 + \frac {x^3} {3} \right)} {H^2} \end{equation*}

    Du kennst aber auch das eingeflossene Volumen nach der Zeit t, das ist nämlich etwas von der Form t*J, wobei J das einfließende Wasser pro Zeit ist. Die beiden Volumina kannst du gleichsetzen und dann nach x auflösen. Das ist aber nun eine kubische Gleichung, das ist wirklich nicht mehr schön, deswegen tippe ich das in ein Computeralgebrasystem ein. Dieses liefert drei Lösungen, davon aber zwei komplexe. Die Physik verlangt nun, dass die reelle Lösung die richtige ist und da verbleibt nur eine:

    \begin{equation*} x\to H - \frac {\left (H^2 R^4\left (H\pi R^2 - 3 J t \right) \right)^{1/3}} {\pi^{1/3} R^2} \end{equation*}

    Und wenn ich mich nirgendwo vertippt habe, dann ist das vielleicht sogar richtig 😃



  • Angenommen du füllst den Kegel von der Spitze ausgehend

    Das Volumen eines Kegels ist V = 1/3* Pi * R^2 * h
    Dein Volumenstrom sei I. Das bedeutet in x Sekunden füllst du ein Volumen von Ix.
    Also I*x = V <=> I*x = 1/3
    Pi * R^2 * h <=> (3*I*x)/(Pi*R^2) = h


  • Mod

    Mario Sandler schrieb:

    Angenommen du füllst den Kegel von der Spitze ausgehend

    Das Volumen eines Kegels ist V = 1/3* Pi * R^2 * h
    Dein Volumenstrom sei I. Das bedeutet in x Sekunden füllst du ein Volumen von Ix.
    Also I*x = V <=> I*x = 1/3
    Pi * R^2 * h <=> (3*I*x)/(Pi*R^2) = h

    Das h ist in der Formel aber die Kegelhöhe und konstant.





  • SeppJ schrieb:

    Das h ist in der Formel aber die Kegelhöhe und konstant.

    Richtig. Wenn du aber von der Spitze aus füllst, dann hast du für jeden Zeitpunkt t einen gefüllten Kegel der Höhe h(t).



  • hier sieht irgendwer den wald vor lauter Bäumen nicht 😉


  • Mod

    otze schrieb:

    SeppJ schrieb:

    Das h ist in der Formel aber die Kegelhöhe und konstant.

    Richtig. Wenn du aber von der Spitze aus füllst, dann hast du für jeden Zeitpunkt t einen gefüllten Kegel der Höhe h(t).

    Selbst wenn du in die Spitze füllen würdest (meinst du das?), würde es nicht stimmen, weil dann wiederum die Grundfläche nicht konstant ist.


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