Verwirrende Aufgabe zur vollständigen Induktion

[vollstind]

Tag,

ich möchte per V.I. zeigen dass 10ⁿ > 6 * n² + n

(n aus der Menge der natürlichen Zahlen)

Ich habe hier die gesamte Rechnung bis hin zur Lösung aber ich kann es nicht nachvollziehen, denn hierbei wird zB mitten in der vollständigen Induktion eine weitere vollständige Induktion gestartet. Weiterhin scheint das beweisen einer Ungleichung schwieriger zu sein als bei einer Gleichung.

Kann jemand diese lösen aber in langsamen Schritten und am besten dokumentiert?

IA: n=1 10 > 7 ---> stimmt

IS: n -> n+1

10ⁿ⁺¹ ≥ 6*(n+1)² + n + 1

10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ * 10

10ⁿ * 10 > 10 * (6*n²+n)
10ⁿ * 10 > 60n² + 10n

(*)Laut meiner Musterlösung:
"Es genügt zu zeigen:"
60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1

Und genau von diesem Punkt (*) an verstehe ich nicht was wie warum....

Warum genügt es das zu zeigen?
Warum steht da ein "≥" statt einem "=" ?

Das ganze wird dann auf die Form 54(n+1)² ≥ 3(n+1)+ umgeformt und DAS wird dann mithilfe einer neuen V.I. bewiesen, allerdings noch verwirrender.

Kannmir das jemand erläutern?

[!rr!rr_.]

weil:

10^n > 6n^2 + n

gilt nach Induktionsvoraussetzung. Mit 10 beidseitig multipliziert,
heißt das:

(#) 10^(n+1) > 60n^2 + 10n

Zeigst du

60n^2 + 10n >= 6(n+1)^2 + n + 1,

dann gilt mit (#):

10^(n+1) > 60n^2 + 10n >= 6(n+1) + n + 1,

und das ist die verlangte Behauptung für n+1.

[!rr!rr_.]

vorletzte Zeile soll natürlich heißen:

10^(n+1) > 60n^2 + 10n >= 6(n+1)^2 + n + 1,

[Michael E.]

vollstind schrieb:

Weiterhin scheint das beweisen einer Ungleichung schwieriger zu sein als bei einer Gleichung.

Oftmals ja, aber hier in diesem Fall ist der Unterschied zwischen beiden Seiten so gewaltig, dass wir das schneller hinkriegen als in der Musterlösung

IA: n=1 10 > 7 ---> stimmt

Sollte klar sein.

IS: n -> n+1

10ⁿ⁺¹ ≥ 6*(n+1)² + n + 1

Das ist zu zeigen, einfach (n+1) für n eingesetzt.

10ⁿ⁺¹ = 10ⁿ * 10

10ⁿ * 10 > 10 * (6*n²+n)

Hier wurde die Induktionsvoraussetzung benutzt.

10ⁿ * 10 > 60n² + 10n

Ausmultipliziert.

(*)Laut meiner Musterlösung:
"Es genügt zu zeigen:"
60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1

Wir wissen:
10ⁿ * 10 > 60n² + 10n. Wenn wir jetzt zeigen können:
60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1, dann gilt:
10ⁿ * 10 > 60n² + 10n ≥ 6(n+1)² + n + 1, also
10ⁿ⁺¹ > 6(n+1)² + n + 1, was genau das ist, was wir zeigen wollen.

Warum steht da ein "≥" statt einem "=" ?

Es genügt, dass der linke Teil größer oder gleich ist, damit unsere gewünschte Ungleichung stimmt. Die Gleichheit ist hier übrigens auch nicht gegeben.

Das ganze wird dann auf die Form 54(n+1)² ≥ 3(n+1)+ umgeformt und DAS wird dann mithilfe einer neuen V.I. bewiesen, allerdings noch verwirrender.

Das kriegen wir schneller hin:

\begin{eqnarray*} 10^{n+1} > 6(n+1)^2 + (n+1)\\ \Leftrightarrow 10 \cdot 10^n > 6n^2 + 13n + 7\\ \Leftarrow (IV) 10(6n^2+n) > 6n^2 + 13n + 7\\ \Leftrightarrow 54n^2 > 3n + 7\\ \Leftrightarrow 54n > 3 + \frac{7}{n} \end{eqnarray*}

Die Behauptung folt aus 54n > 10 für alle n >= 1 und 3 + 7/n <= 10 für alle n >= 1.