Transformation



  • Gegeben ist eine Punktmege P = {(x_i,y_i,z_i) | i = 1..n} und eine Punktmenge Q, die aus P durch eine beliebige Anzahl von Translationen, Spiegelungen und Rotationen hervorgegangen ist.

    Gibt es eine Abbildung f, die P und Q wieder durch Translationen, Spiegelungen und Rotationen auf ein gemeinsames Bild R = f(P) = f(Q) abbildet? Dabei soll f nur aus Informationen konstruiert werden, die auf den Daten in P hervorgehen.

    Beispiel: Lassen wir als Abbildungen nur Translationen zu, könnte man f(P) und f(Q) durch eine Translation in den jeweiligen Schwerpunkt bilden.

    Kann es so eine Abbildung geben? Wie könnte man sie konstrieren, falls es sie gibt?



  • Wenn man die 0-Matrix zur Verfuegung hat, dann schon. Ansonsten k.A.



  • Mups schrieb:

    Gibt es eine Abbildung f, die P und Q wieder durch Translationen, Spiegelungen und Rotationen auf ein gemeinsames Bild R = f(P) = f(Q) abbildet? Dabei soll f nur aus Informationen konstruiert werden, die auf den Daten in P hervorgehen.

    Ich verstehe den letzten Satz nicht. Was ist damit gemeint? Ich hätte eher erwartet, dass f von der Abbildung, die P auf Q abbildet, abhängen soll.

    Beispiel: Lassen wir als Abbildungen nur Translationen zu, könnte man f(P) und f(Q) durch eine Translation in den jeweiligen Schwerpunkt bilden.

    Inwiefern hängt f denn "nur von P" ab, wenn der gemeinsame Schwerpunkt von P und Q mit einfließen soll?

    Wie könnte man sie konstrieren, falls es sie gibt?

    Grober Schlachtplan: f ist eine affine Abbildung, also gilt mit einer Matrix A und einem Vektor b f(x) = Ax + b für alle x. Wenn man das einsetzt und ausreichend rumrechnet, bekommt man hoffentlich Bedingungen an A und b.



  • P und Q sollen auf ein gemeinsames Bild abgebildet werden (affine Abbildung klingt gut, mit einer orthogonalen Matrix A... Nullmatrix ist doof, sonst bleibt ja gar nix mehr übrig, orthogonal erhält Winkel und Abstände). Wobei A und P wahrscheinlich von der jeweiligen Punktmenge abhängen müssen.

    Zur Verdeutlichung noch mal mein Beispiel (nur Transformationen):

    P = {(0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} --> Schwerpunkt (0.5, 0.5, 0.5)

    Translation um (2,2,2)

    Q = {(2,2,2), (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3)} --> Schwerpunkt (2.5, 2.5, 2.5)

    f(P) wird gebildet, indem jeweils der Schwerpunkt (0.5, 0.5, 0.5) subtrahiert wird, also f(P) = {(-0.5,-0.5,-0.5), (0.5,0.5,-0.5), (0.5,-0.5,0.5), (-0.5,0.5,0.5)}

    f(Q) wird entsprechend gebildet, indem der Schwerpunkt (2.5, 2.5, 2.5) subtrahiert wird, also f(Q) = {(-0.5,-0.5,-0.5), (0.5,0.5,-0.5), (0.5,-0.5,0.5), (-0.5,0.5,0.5)}, und das ist gleich mit f(P)

    Man merke, dass man f(P) bilden kann, ohne Q zu kennen (und umgekehrt).

    Geht sowas auch, wenn man orthogonale Transformationen zulässt (Drehung, Spiegelung)? In der affinen Transformation scheint das b schonmal was mit dem Schwerpunkt zu tun zu haben. Aber woher kommt A? Ich befürchte, das hat was mit Singulärwertzerlegung zu tun?! Alle Punkte in die Zeilen einer Matrix schreiben und SVD machen und dann mal über das Ergebis philosophieren? Falls das geht, kann man die SVD irgendwie schön umgehen?

    Ich denk morgen nochmal irgendwann drüber nach, jetzt macht mir das Kopfschmerzen.



  • Dein Beispiel ist Quatsch, da die Funktion f angewandt auf P nicht die gleiche Funktion f angewandt auf Q ist. Hier mal meine Interpretation:

    Gegeben ist eine Punktmege P = {(x_i,y_i,z_i) | i = 1..n} und eine Punktmenge Q

    Q={q_1,q_2,...}R3,P={p_1,p_2,...}R3Q = \{q\_1,q\_2, ...\} \subset \mathbb{R}^3, P = \{p\_1,p\_2, ...\} \subset \mathbb{R}^3

    die aus P durch eine beliebige Anzahl von Translationen, Spiegelungen und Rotationen hervorgegangen ist

    A p_n+a=q_nA~p\_n + a = q\_n

    f(P) = f(Q)

    f(P)=f(Q)f(P) = f(Q)

    Gibt es eine Abbildung f, die P und Q wieder durch Translationen, Spiegelungen und Rotationen

    B p_n+b=B q_n+bB~p\_n + b = B~q\_n + b

    eingesetzt:

    B p_n+b=BA p_n+BaB~p\_n + b = BA~p\_n + Ba

    Koeffizientenvergleich:

    B=BA,b=BaB = BA, b = Ba

    Daraus folgt, dass entweder B die Nullmatrix ist oder A die Einheitsmatrix. Wenn man mit homogenen Koordinaten arbeitet, braucht man Translation nicht extra zu behandeln. Man koennte einwenden, dass der Punkt p1 nicht unbedingt auf q1 durch f abgebildet werden muss. Aber da es ja allgemein gelten soll, wuerde ich dann eine einelementige Menge P nehmen.



  • knivil schrieb:

    Dein Beispiel ist Quatsch, da die Funktion f angewandt auf P nicht die gleiche Funktion f angewandt auf Q ist.

    Nicht, wenn die Vorschrift für die Funktion f(P) heisst: Nimm den Schwerpunkt x_s von P und ziehe x_s von jedem p € P ab.

    Aber du hast recht: Eine affine Transformation kann man das dann nicht mehr nennen.


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