Harmonische Schwingung



  • Hallo zusammen,

    ich weißt, dass eine harmonische Schwingung eine Sinusschwingung ist. Doch wie beweise ich, dass eine Schwingung eine harmonische ist.

    Ich habe ein konkretes Beispiel. In einem U - Rohr schwingt Wasser hin und her (Reibung wird vernachlässigt). Wie zeige ich nun, dass diese Schwingung harmonisch ist.

    Die Erklärung, dass das Wasser wie die Sinuskurve hoch und runter geht, reicht wohl nicht aus.

    Vielen Dank
    lg, freakC++



  • Die Rückstellkraft ist proportional zur Höhe, und zeigt in die andere Richtung.
    Die Beschleunigung ist proportonal zur Kraft, und zeigt in die selbe Richtung.
    Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.
    Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Höhe.
    Also Die zweite Ableitung der Höhe ist propertional zur Höhe, und zeigt in die andere Richtung.
    Also
    h''(t)=k*-h(t) mit k>0
    Das ist eine Differentialgleichtung und man fragt sich, welche Funktionen diese Gleichung erfüllen.
    Ah, die zweite Ableitung vom Sinus ist der MinusSinus.



  • Danke, volkard! Ich dachte nicht, dass der Ansatz über die Differentialgleichung schon der Beweis ist, aber der Sinus machts wohl. In einer anderen Quelle habe ich gelesen, dass die Lösung zu der Frage mit dem U Rohr sei, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung s sei! Daher handle es sich um eine harmonische Bewegung.

    Viele Grüße

    freakC++



  • Der Beweis, dass es eine harmonische Schwingung ist, läuft eigentlich so, dass man bemerkt, dass nur sin und cos die aufgestellte Differentialgleichung lösen. Das ist ein bekannter Satz aus der Analysis.



  • freakC++ schrieb:

    Danke, volkard! Ich dachte nicht, dass der Ansatz über die Differentialgleichung schon der Beweis ist, aber der Sinus machts wohl.

    Es gibt in der Mathematik bewiesene Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu vielen Typen von Differentialgleichungen. So auch für die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Wenn man nicht gerade Mathematiker ist muss einen das nicht weiter interessieren, dann guckt man ins Taschenbuch der Mathematik oder wo auch immer und liest ab, dass die Lösung ein Sinus ist.

    In einer anderen Quelle habe ich gelesen, dass die Lösung zu der Frage mit dem U Rohr sei, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung s sei! Daher handle es sich um eine harmonische Bewegung.

    Das ist doch das gleiche Argument, nur nicht so weit ausgeführt.


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