Die Eulersche Zahl



  • Hey, habe eine Frage zur Eulerschen Zahl. afair wird sie definiert als die Basis einer Potenz, deren Anstieg am Punkt X=0 genau 45° beträgt. Da aber die Berechnung dieser Zahl nur über die Grenzwertbestimmung möglich ist, heißt das, dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?

    Grüße,
    Rewind.



  • [Rewind] schrieb:

    Hey, habe eine Frage zur Eulerschen Zahl. afair wird sie definiert als die Basis einer Potenz[funktion], deren Anstieg am Punkt X=0 genau 45° beträgt.

    Es stimmt zwar, dass die e-Funktion bei 0 den Anstieg 1 hat, aber das ist nicht die Definition. Man kann eine Potenz mit allgemeinem reellen Exponenten nämlich nicht ohne Rückgriff auf die e-Funktion definieren, eine solche Definition wäre zirkulär.

    Die übliche Definition für e ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$ oder über die Exponentialfunktion $$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$, indem man für x 1 einsetzt.

    Da aber die Berechnung dieser Zahl nur über die Grenzwertbestimmung möglich ist, heißt das, dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?

    Es gibt hier mehrere Grenzwerte.

    1. Der Wert der e-Funktion selbst für einen Punkt ist schon ein Grenzwert
    2. Der Anstieg ist ein Differentialquotient, also auch ein Grenzwert
      Aber man kann ja Grenzwerte ausrechnen, und der Anstieg ist halt 1. Das "niemals" hat hier eigentlich keinen Platz.


  • dass man niemals einen Winkel von genau 45° haben wird, oder sehe ich das falsch?

    Schon mal versucht, einen Winkel von 45 Grad nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren? Wenn nicht, bitte tue es jetzt!



  • Ok, danke für die ausführliche Beschreibung. Jetzt habe ich's verstanden. Die Definition kenne ich, in meiner Frage habe ich allerdings mit dem Wort Definition diese Eigenschaft gemeint 🙂



  • Bashar schrieb:

    Es stimmt zwar, dass die e-Funktion bei 0 den Anstieg 1 hat, aber das ist nicht die Definition. Man kann eine Potenz mit allgemeinem reellen Exponenten nämlich nicht ohne Rückgriff auf die e-Funktion definieren, eine solche Definition wäre zirkulär.

    Muß man das?
    Ich definiere: Eine hübsche Funktion ist eine stetige reelle Funktion, die ein Vielfaches ihrer Ableitung ist.
    Und die e-Funktion ist diejenige hübsche Funktion, die an der Stelle 0 die Steigung 1 hat.



  • Das war im Zusammenhang anders gemeint. Der OP hat geschrieben, dass die e-Funktion über die Potenz definiert sei, wobei die Basis eine bestimmte Zahl ist. Aber die Potenz ist nunmal selbst über die e-Funktion definiert, also kann das nicht sein.



  • volkard schrieb:

    Ich definiere: Eine hübsche Funktion ist eine stetige reelle Funktion, die ein Vielfaches ihrer Ableitung ist.
    Und die e-Funktion ist diejenige hübsche Funktion, die an der Stelle 0 die Steigung 1 hat.

    Dann gibt es aber ganz schön viele e-Funktionen. Das Ding, was normalerweise e-Funktion heisst, nenne ich mal exp(x). Dieses exp(x) erfüllt deine Definition. Aber y(x)=0.5*exp(2x) hat die Ableitung y'(x)=exp(2x) und ist deswegen auch hübsch, und y'(0)=exp(2*0)=1. Und jetzt weiß ich gar nicht mehr, was denn nun die richtige e-Funktion ist.



  • Richtiger sollte man auch eine glatte Funktion f mit f' = f und f(0) = 1 suchen.



  • Noch eine Alternative: Man kann die Potenzfunktion problemlos sukzesive für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen definieren und dann einfach die stetige Fortsetzung nehmen.

    Eine hab ich noch: Die Umkehrfunktion der Stammfunktion ln(x) von 1/x mit ln(1)=0.


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