Basis des Spaltenraums + Basis des Kerns einer bearbeiteten Matrix finden



  • Hallo.

    Allgemein: Ich habe ein Gleichungssystem der Form Ax = b wobei x und b vektoren sind.

    Kann ich, nachdem ich am Ende ein bei einem "bearbeiteten" A (weil ich Gauss-Jordan drauf angewendet habe) irgendwie leicht eine mögliche Basis des Spaltenraums und des Kerns von A ablesen?

    Genauer, kann ich eine mögliche Basis des Kerns von A ablesen ohne vorher die allgemeine Lösung zu berechnen?

    Ich habe hier ne Übungsaufgabe, die in unteraufgabe b) und c) eine mögliche Basis des Spaltenraums (b) und eine mögliche Basis des Kerns (c) verlangt, aber erst in Unteraufgabe d) die allgemeine Lösung. Daher habe vermute ich, dass es in b) und c) auch etwas einfacher geht, besonders da Unteraufgabe a) auch nur so eine kurze ableseaufgabe ist (Rang und Dimension des Kerns angeben was man ja beides mehr oder weniger ablesen kann)



  • Solange nicht nach einer minimalen Basis gefragt ist, schreibst du die Spalten der Matrix einfach als Vektoren hin. Bums, hast du eine mögliche Basis des Spaltenraums.

    Ist deine Matrix regulär, ist der Kern einfach nur der Nullvektor. Ist deine Matrix singulär, bekommst du als Lösung irgendwann sowas wie x1 = 0, x2=x3 und x4=-x3 heraus. Dann überlegst du mal scharf, wie viele von deinen Variablen du frei wählen darfst -> dimension des Kerns. Dann machst du dir eine schöne Basis daraus ( zb hier dim Kern = 1, einziger Basisvektor zb (0 1 1 -1) )



  • kenner der kerne schrieb:

    Allgemein: Ich habe ein Gleichungssystem der Form Ax = b wobei x und b vektoren sind.

    Kann ich, nachdem ich am Ende ein bei einem "bearbeiteten" A (weil ich Gauss-Jordan drauf angewendet habe) irgendwie leicht eine mögliche Basis des Spaltenraums und des Kerns von A ablesen?

    Wenn ich mich nicht irre, bilden die Spalten, in denen sich nach dem Gauss-Jordan-Algorithmus die "Treppenstufen" befinden, eine Basis des Spaltenraums von A.

    Genauer, kann ich eine mögliche Basis des Kerns von A ablesen ohne vorher die allgemeine Lösung zu berechnen?

    Die allgemeine Lösung ist ja nur eine spezielle Lösung plus den Kern, also bekommst du den Kern automatisch mit.

    mups schrieb:

    Solange nicht nach einer minimalen Basis gefragt ist, schreibst du die Spalten der Matrix einfach als Vektoren hin. Bums, hast du eine mögliche Basis des Spaltenraums.

    Eine Basis ist immer minimal. Du verwechselst das mit einem Erzeugendensystem.



  • oh, danke.

    nur zur sicherheit frag ich mal:

    angenommen ich bekomme ne algemeine lösung (aus der luft genommen): (0/2/3) + (1/2/3)*a + (6/5/4)*b , dann ist (1/2/3)*a + (6/5/4)*b der kern?



  • Nein. Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die durch die Matrix auf 0 abgebildet werden.



  • Michael E. schrieb:

    Nein. Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die durch die Matrix auf 0 abgebildet werden.

    Wieso nein? Das sind doch genau die.



  • Sorry, bin durch die doppelte Benutzung der Variablen b durcheinandergekommen. Kurzum: Der Term hat für mich überhaupt keinen Sinn gemacht.


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