Körper mit Charakteristik 3 und <10000 Elementen



  • Hallo.

    Ich bereite mich grad auf Prüfungen vor, und da ist in einer alten Mathe Prüfung am Ende diese Joker-Aufgabe untergebracht:

    Wie viele Körper mit der Charakteristik 3 und maximal 10000 Elementen gibt es?

    Wie soll ich denn darauf kommen? Auf Anhieb fällt mir ledliglich Z3 ein (trivial), aber mir fehlt jeglicher Ansatz für den Rest.

    Wie komme ich auf die Anzahl dieser Körper?



  • Die Charakteristik eines endlichen Körpers teilt die Anzahl der Elemente. Damit eine Menge mit n Elementen ein Körper sein kann, muss n die Potenz einer Primzahl sein. Also sind hier die interessanten Fälle 3, 3^2, 3^3 etc. Davon gibt es floor(log_3(10000)).



  • Aha, danke.

    Ich hab jetzt panisch alle Aufzeichnungen von Mathe durchgeblättert und bin zufällig über Herr Galois' Theorem gestoßen, dass es für jedes n € |N genau einen Körper mit der Charakteristik p mit p^n Elementen gibt, wobei p € |P.

    D.h. bei mir 3^n <= 10000 -> n <= log3(10000).

    Prima!


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