Relationen
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Die "<=" Relation ist also reflexiv, nicht symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv, wenn ich das richtig verstanden habe?
Begründung zur Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y. Die Bedingung kann bei "<=" ja nur erfüllt sein, wenn x und y gleich sind.
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Liege ich da richtig?
lg, freakC++
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freakC++ schrieb:
Antisymmetrie: Wenn (xRy UND yRx) gilt, dann gilt auch x = y.
freakC++ schrieb:
Die Relation "<" wäre zum Beispiel sowohl nicht symmmetrisch als auch nicht antisymmetrisch.
Also wenn ich da mal zurückdenke an vor 9 Tagen, wo Du ex falso quod libet verstanden hast, wachsen mir Zweifel. Obwohl, 9 Tage. Das sind für ein Kind des Privatfernsehens wie mich Ewigkeiten.
x<y UND y<x kann ja nie wahr werden. Aber dann ist die Implikation doch deswegen immer wahr.
Und die Relation < ist bestimmt auch ein bißchen transitiv.
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Jup...daran hatte ich nicht mehr gedacht. Neuer Versuch:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
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freakC++ schrieb:
Die Relation "<" ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch, aber antisymmetrisch und transitiv.
Ja, sehe ich auch so.
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Ich las soeben folgenden Satz:
Sei M eine Menge. Dann ist "ElementAus" eine Ordnungsrelation auf die Potenzmenge.
Das wollte ich gerne zeigen. Als Beispiel habe ich mir M = {1,2} herausgesucht.
P(M) = {{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Die Relation R wird also auch "ElementAus" genannt.
Muss ich jetzt das Kreuzprodukt von der Menge M oder von der Potenzmenge mit sich selbst erstellen?
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Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
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Michael E. schrieb:
Du siehst doch, was vor dem Element-Zeichen stehen darf und was danach. Dadurch hast du deine Mengen gegeben.
Ich sehe es nicht. Für mich ist die Aufgabe Quatsch.
Wäre es die Teilmengenbeziehung, ja dann wäre alles klae. Aber zu "ElementAus" finde ich nichts.
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Eine Relation ist Teilmenge von AxB mit A und B Mengen. A und B müssen nicht gleich sein. Vor dem Element-Zeichen steht ein Element aus M, nach dem Element-Zeichen ein Element aus der Potenzmenge von M. Also ist die "Element-aus"-Relation Teilmenge von M x P(M).
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Michael E. schrieb:
Eine Relation ist Teilmenge von AxB mit A und B Mengen. A und B müssen nicht gleich sein.
Aber hier doch.
http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation
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Sorry, hab Ordnung überlesen. Dann ist der Satz in der Tat falsch.
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Mmmhh...."TeilmengeAus" macht wirklich eher Sinn. Vielleicht habe ich mich verhört. Ich habe es jetzt mal damit ausprobiert.
Gegeben ist die Menge M = {1,2,3}. Ich habe nun das Kartesische Produkt M x P(M) gebildet. Das fängt so an M x P(M) = {(1, {}), (1,{1}, (1,{2}) ... }
Nun soll ich die Reflexivität zeigen. Doch bereits beim ersten Tupel versagt die Bedingung xRx. 1 ist nämlich nicht Teilmenge der leeren Menge.
Was mache ich falsch, denn ich weiß, dass die Relation reflexiv ist
Danke euch !!
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freakC++ schrieb:
Ich habe nun das Kartesische Produkt M x P(M) gebildet.
Ach nöö.
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Ich denke eher, deine Relation („Teilmenge aus“) muss dann die Form haben R ⊆ P(M) × P(M). Und die ist reflexiv. Eigenschaften wie Reflexivität machen sowieso nur Sinn, wenn die beiden Mengen der Relation identisch sind.
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Mmmh...bei meiner Definition steht ja auch, dass man eigentlich immer das Kartesische Produkt mit sich selbst bilden muss. Nur bei Wikipedia steht halt, dass wenn man zwei Mengen A und B hat, A x B bildet.
Nun ja....ich hatte ganz am Anfang auch daran gedacht, das P(M) x P(M) zu bilden. In dieser Menge befindet sich zum Beispiel dieses Tupel ({2,3}, {1,3}). Hier habe ich aber genau das gleiche Probklem. Die Menge {2,3} ist keine Teilmenge von {1,3}. Wie kann ich dann die Reflexivität zeiegn?
Danke für eure Geduld.
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freakC++ schrieb:
Nun ja....ich hatte ganz am Anfang auch daran gedacht, das P(M) x P(M) zu bilden. In dieser Menge befindet sich zum Beispiel dieses Tupel ({2,3}, {1,3}). Hier habe ich aber genau das gleiche Probklem. Die Menge {2,3} ist keine Teilmenge von {1,3}. Wie kann ich dann die Reflexivität zeiegn?
In P(M)xP(M) ist ({2,3}, {1,3}) enthalten.
Aber in "IstTeilmenge" ist ({2,3}, {1,3}) gar nicht enthalten, da {2,3} keine Teilmenge von {1,3} ist. "IstTeilmenge" ist eine Teilmenge von P(M)xP(M). Und zwar sind nur die Paare drin, wo der erste Teil Teilmege des zweiten Teils ist.
Also "IstTeilmenge"={({},{}),({},{1}),({1},{1}),({},{2}),({2},{2}),({},{3}),({3},{3}),({},{1,2}),({1},{1,2}),({2},{1,2}),({1,2},{1,2},...)
Stell die erstmal auf und dann kannste schauen.
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das macht schon mehr Sinn
Ich versuchs...
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Hallo nochmal!
Ich habe mir mal zur Übung die Relation "=" auf die Natürlich Zahlen angeschaut. Nach meinen Überlegungen ist sie sowohl transitiv und symmetrisch als auch antisymmetrisch und reflexiv.
Ist es nun eine Ordnungsrelationn oder eine Äquivalenzrelation? Vom Namen her zu urteilen, tippe ich auf eine Äquivalenzrelation, aber von der Definition her, kann es beides sein.
Liege ich da richtig?
lg, freakC++
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Gleichheit ist sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungsrelation. Ist aber die einzige Relation, die beides ist.
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SG1 schrieb:
Gleichheit ist sowohl Äquivalenz- als auch Ordnungsrelation. Ist aber die einzige Relation, die beides ist.
Was ist denn für dich ne ordnungsrelation? Meinst du totalordnungen? Sonst seh ich das nicht...
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Ja, eine Totalordnung ist es auch! Daher ist es auch eine Ordnungsrelation.
lg, freakC++