4. Frage zur Herleitung des binomischen Lehrsatz

Frage zur Herleitung des binomischen Lehrsatz

  • S

    hey,
    ich versuch grad den binomischen Lehrsatz nachzuvollziehen, verstehe da aber einen bestimmten schritt nicht.
    http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Ringe:_Binomischer_Lehrsatz
    Unten beim Beweis maxht er eine Annahme, wo er das (a+b) als Faktor vor das Summenzeichen schreibt. Ich versteh aber nicht, wie er darauf kommt. Ich hab in meinem Induktionsschluss das selbe, nur mit Summe bis n+1 ....
    Wie kommt er darauf, dass er ein (a+b) da einfach als Faktor rausschreiben kann?

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  • Mod

    Wenn ich die Stelle die du meinst richtig verstehe (Direkt nach "Durch Verwenden der Annahme gilt:"), dann wird da nichts rausgezogen. Es steht da (a+b)*(a+b)^n und es wird (a+b)^n durch den Summenausdruck ersetzt. Das (a+b) bleibt einfach stehen.

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  • S

    Ja, genau diese Stelle meine ich. Ich hab in der Uni bloß gelernt, dass ich den Induktionsschluss immer n+1 machen muss, daher hab ich das n+1 direkt in der Summe. Und genau das ist mist, da ich nicht den Induktionsanfang einsetzen kann. Daher wollte ich wissen, wie er auf diese Annahme kommt, damit ich von da weiterrechnen kann.

    Kann mir da eben jemand einen Tipp geben? Ich steh echt auf dem Schlauch...

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  • ?

    "daher hab ich das n+1 direkt in der Summe"

    Die Annahme ist die Gültigkeit der Formel für n. Mit Hilfe der Annahme wird die Gültigkeit für n+1 gezeigt.

    In (a+b)*(a+b)^n kann (a+b)^n durch die Summe (bis n) ersetzt werden, denn das ist nach der Annahme wahr.

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  • S

    hmm, das hilft mir so nicht weiter.
    ich habe bisher
    (a+b)^(n+1) = Σ(von i=0 bis n+1)(n+1 über i) a^i b^(n+1-i)
    anscheinend hilft mir der Link da nicht weiter. Daher: Wie kann ich den Summenterm so aufspalten, dass ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann. Wenn meine Summe ja bis n+1 läuft, kann ich ja Summe bis n + (das was in der Summe steht). Das Problem an der Sache ist ja das in dem Part in der Summe nun auch das n+1 steht und ich deswegen die Induktionsvoraussetung nicht einsetzen kann.

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  • M

    seux schrieb:

    hmm, das hilft mir so nicht weiter.
    ich habe bisher
    (a+b)^(n+1) = Σ(von i=0 bis n+1)(n+1 über i) a^i b^(n+1-i)

    Nein, das willst du zeigen.

    Daher: Wie kann ich den Summenterm so aufspalten, dass ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann. Wenn meine Summe ja bis n+1 läuft, kann ich ja Summe bis n + (das was in der Summe steht). Das Problem an der Sache ist ja das in dem Part in der Summe nun auch das n+1 steht und ich deswegen die Induktionsvoraussetung nicht einsetzen kann.

    Du kannst den Beweis gerne rückwärts lesen, also von unten nach oben, wenn du mit der Summe anfangen willst. Einen Gefallen tust du dir damit aber nicht.

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  • ?

    "(a+b)^(n+1) = Σ(von i=0 bis n+1)"

    Warum wehrst Du Dich so vehement gegen den Ansatz im Wiki?
    Das da oben musst Du beweisen (wie schon mehrfach gesagt). Was Du weißt, bzw. annehmen kannst, ist : (a+b)^n=Σ(von i=0 bis n)

    Also (a+b)^(n+1) = (a+b)(a+b)^n und schon kannst Du die Annahme hier verwendent.

    Vielleicht ist Dir das Induktionsprinzip noch nicht ganz klar geworden. Das passiert vielen am Anfang.

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  • Wenn es dir nur darum geht den Satz nachzuvollziehen: Der ist eigentlich ziemlich einfach und intuitiv.

    Du willst (a + b)^n = \underbrace{(a + b) \cdot (a + b) \cdot \ldots \cdot (a + b)}_{n} berechnen.

    Multiplizieren wir das einfach mal aus:

    (a + b)^n = \underbrace{(a + b) \cdot (a + b) \cdot \ldots \cdot (a + b)}_{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n} + \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots a}_{n - 1} \cdot b + \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots a}_{n - 2} \cdot b \cdot b + \ldots + \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n - 2} \cdot b \cdot a + \ldots + a \cdot a \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n - 2} + a \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n - 1} + \underbrace{b \cdot b \cdot \ldots \cdot b}_{n}

    Rauskommen tut also etwas der Form:

    c_0anb0+c_1an−1b1+c_2an−2b2+…+c_n−1a1bn−1+c_na0bn=∑_i=0ncian−ibic\_0 a^n b^0 + c\_1 a^{n-1} b^1 + c\_2 a^{n-2} b^2 + \ldots + c\_{n-1} a^1 b^{n-1} + c\_n a^0 b^n = \displaystyle\sum\_{i=0}^n c_i a^{n-i} b^i

    Die Frage ist nun, welche Werte die Faktoren cic_i haben. Und das zu beantworten ist ganz einfach, wenn man sich nur kurz überlegt hat was beim ausmultiplizieren passiert.
    Der Faktor cic_i ist nämlich nichts anderes als die Anzahl der möglichen Kombinationen von aa und bb in denen (n−i)(n - i) mal ein aa bzw. ii mal ein bb vorkommt.
    Und diese Anzahl entspricht einfach dem Binomialkoeffizient, also:

    (a+b)n=∑i=0n(ni)an−ibi(a + b)^n = \displaystyle\sum_{i=0}^n {n \choose i} a^{n-i} b^i

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  • S

    µ schrieb:

    Warum wehrst Du Dich so vehement gegen den Ansatz im Wiki?

    Weil ich die Übungsaufgabe heute morgen abgeben musste und in dem Beweis vom Wiki recht viel Mathematik drin war, was wir so in der Uni nocht nicht hatten und mir auch fremd war (Indexverschiebung zum Beispiel).
    Aber ja, ich geb zu, dass ich gestern den Weg in der Wiki missverstanden hab. Ich hab angenommen, dass auf der rechten Seite das (a+b) aus der Summe rausgezogen wurde (fragt mich jetzt nicht, wie ich auf diese Annahme kam, es muss daran gelegen haben, dass es schon spät war 😞 ).

    Naja, trotzdem danke für eure Hilfestellungen. Ich hoffe mal ich bekomme wenigstens noch ein paar Punkte für die Aufgabe.

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