Umkehrsatz

[icarus2]

Hey

Ich haenge gerade etwas bei einer Aufgabe. Ich habe folgende Funktion gegeben:
$f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi/2, \infty), \enspace f(x) = e^x + arctan(x)$

Ich muss zeigen, dass die Funktion bijektiv ist, $(f^{-1})'(\xi)$ existiert und dann $(f^{-1})'(1)$ berechnen.

Zu zeigen, dass sie bijektiv ist und dass $(f^{-1})'(\xi)$ existiert ist kein Problem. Wie berechne ich allerdings $(f^{-1})'(1)$?

Aus dem Umkehrsatz gilt $(f^{-1})'(\xi) = \frac{1}{f'(f^{-1}(\xi))}$.
Doch wie kann ich das berechnen, wenn ich $f^{-1}(\xi)$ nicht kenne?

[SeppJ]

Du brauchst ja nicht gleich $f^{-1}$ zu berechnen. Es reicht ja, wenn du ein $y$ mit $f(y)=1$ erraten kannst. Da du gezeigt hast, dass $f$ bijektiv ist, kennst du damit dann auch $f^{-1}(1)$. Und ich sag mal so: Dieses $y$ zu erraten ist nicht sehr schwer!

[icarus2]

Stimmt, ich habe nicht daran gedacht, dass man diesen Wert "erraten" kann. Das waere dann $(f^{-1})(1) = 0$, richtig?

[SeppJ]

Ja.

[icarus2]

Danke