Notfall: Partielles Ableiten



  • Hi, ich hoffe jemand kann mir die Frage beantworten, ich bin kurz vorm ausrasten... es geht um partielles Ableiten. (& soll dieses delta andeuten)

    ich habe eine funktion F(x,y) = x + y
    es gilt: x = y

    wenn ich nun die Funktion partiell nach x ableite, also
    &F(x,y)/&x
    was ist dann das Ergebnis?
    = 1, weil es ist nur ein x in der Funktion. Ableitung von x ist 1.
    oder
    = 2, weil es gilt ja x=y, also wäre theoretisch F(x,y=x) = x + x = 2x und 2x abgeleitet nach x, also 2.
    bzw analog zu dieser Lösung: =0, da y=x und dann wären F(y,y) = 2y und das nach x abgeleitet wäre 0.

    Das sollte ich eig im Schlaf lösen können, aber ich habe mich bei dem Problem (das ich davor hatte und mittlerweile gelöst habe) schon so verrückt gemacht, dass ich nicht mehr ableiten kann..

    ich hoffe auf eine (baldige - will vor 2 ins bett 😞 ) Antwort

    mfg



  • Schreibe es als x+y(x) und leite dann ab 😉
    Ist y echt unabhängig von x, so ergibt sich 1, wenn sich später raustellt das dem nicht so ist, ergibt sich 2.



  • Nenene. Partielle Ableitung heißt, dass du tatsächlich nur symbolisch nach dem ersten Parameter, also xx ableitest. Das andere ist die totale Ableitung. Es gilt
    ddxF(x,y)=xF(x,y)+(yF(x,y))yx\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(x,y) = \frac\partial{\partial x}F(x,y) + \left(\frac\partial{\partial y}F(x,y)\right)\frac{\partial y}{\partial x}

    Die Antwort auf deine Frage ist also xF(x,y)=1\frac\partial{\partial x}F(x,y) = 1.



  • Die Kettenregel gibts auch bei partiellen Ableitungen.



  • Selbstverfreilich, aber die kommt nur zum Einsatz wenn etwas tatsächlich /explizit/ von xx abhängt. Und das tut yy hier per Definition nicht. Wenn wir über den Ausdruck F(x,y(x))F(x,y(x)) sprächen wäre das was anderes 🙂



  • Es gilt hier aber offenbar y = y(x)



  • Nochmal, so wie ich's angegeben habe ist die partielle Ableitung definiert. Symbolische Ableitung nach der angegebenen Variable, ohne dass irgendwelche weitere Informationen einfließen. Das y=xy = x muss man nachträglich anwenden, also wenn bereits abgeleitet wurde:
    xF(x,y)y=x=1y=x=1\left.\frac\partial{\partial x}F(x, y)\right|_{y=x} = \left.1\right|_{y=x} = 1
    Interessant wird es erst, wenn du eine Funktion wie F(x,y)=x2+y2F(x,y) = x^2 + y^2 hast. Dann gilt
    xF(x,y)y=x=2xx=y=2y\left.\frac\partial{\partial x}F(x, y)\right|_{y=x} = \left.2x\right|_{x=y} = 2y

    Guckstu auch in die Wikipedias, wenn du mir nicht glaubst ;).


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