Für welche (x,y) gilt dies und das...



  • Moin moin,

    von der Uni haben wir ein Aufgabenblatt mit folgender Aufgabe:

    Für welche (x,y)R2=R(x, y) \in \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} x R\mathbb{R} gilt y22y>x2+2xy^2 - 2y > x^2 + 2x

    Mir wurde geraten den Term zu faktorisieren, das hab ich getan:

    (y+x)(yx2)>0(y + x) (y - x - 2) > 0

    Jetzt frage ich mich aber, wie komme ich jetzt zu einer Lösung?

    Gruß Zel 😉



  • Frag mal einen Neuntklässler, falls du einen kennst. 🙂 (Tipp: Wann ist das Produkt zweier Zahlen positiv und wann negativ?)

    BTW, das Symbol für die reellen Zahlen schreibt man normalerweise R\mathbb{R}.



  • Da merkt man mal, wie lange man schon aus der Schule raus ist und dieses ganze "einfache" vergessen hat...

    War in der 9ten Klasse nicht mal was von quadratischer Ergänzung oder sowas... Puh... kp^^

    Ein Produkt ist positiv wenn beide Zahlen positiv oder beide Zahlen negativ sind... Negativ wenn eine der beiden Zahlen negativ ist...^^

    Ups, ja R\mathbb{R} meinte ich auch eigentlich, ich verbesser das mal in der Frage^^

    Stell mir keine einfachen Fragen^^ Heute ist mein Tag, an dem ich in alle Fallen mit Anlauf reinlaufe... 😉

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    Edith:

    kann es sein, dass (y+x)(yx2)>0(y + x) (y - x - 2) > 0 für alle (x,y)(x, y) gültig ist, wenn y>x+2y > x + 2 gilt?

    Den Wink mit dem "wann ist ein Produkt positiv / negativ?" hab ich leider erst recht gecheckt...

    ich muss ja nur dafür Sorge tragen, dass beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind. Und wenn yy immer größer als x+2x + 2 ist, tritt immer einer der beiden Fälle ein.

    Würde mich mal über ein Feedback über meine Lösung freuen 😉



  • Zel2491 schrieb:

    kann es sein, dass (y+x)(yx2)>0(y + x) (y - x - 2) > 0 für alle (x,y)(x, y) gültig ist, wenn y>x+2y > x + 2 gilt?

    Beispiel: y=0, x=-1000 => y>x+2 gilt, aber (0 - 1000)·(0 + 1000 - 2) ist kleiner 0.

    Entweder sind beide Faktoren positiv
    y+x>0 und y−x−2>0
    y> -x und y>x+2
    y>max{-x, x+2}

    Oder beide negativ
    y+x<0 und y−x−2<0
    y<-x und y<x+2
    y<min{-x, x+2}

    Eine der folgenden vier Bedingungen muss wahr sein:
    x≥-1 und y>x+2
    x≥-1 und y<-x
    x<-1 und y>-x
    x<-1 und y<x+2

    Vielleicht ist bei mir ein Fehler drin oder vielleicht kann man da noch vereinfachen, aber so ist die grobe Vorgehensweise.



  • y²-2y > x²+2x

    <=> (y-1)²>(x+1)²



  • spoili schrieb:

    Zel2491 schrieb:

    kann es sein, dass (y+x)(yx2)>0(y + x) (y - x - 2) > 0 für alle (x,y)(x, y) gültig ist, wenn y>x+2y > x + 2 gilt?

    Beispiel: y=0, x=-1000 => y>x+2 gilt, aber (0 - 1000)·(0 + 1000 - 2) ist kleiner 0.

    Entweder sind beide Faktoren positiv
    y+x>0 und y−x−2>0
    y> -x und y>x+2
    y>max{-x, x+2}

    Oder beide negativ
    y+x<0 und y−x−2<0
    y<-x und y<x+2
    y<min{-x, x+2}

    Eine der folgenden vier Bedingungen muss wahr sein:
    x≥-1 und y>x+2
    x≥-1 und y<-x
    x<-1 und y>-x
    x<-1 und y<x+2

    Vielleicht ist bei mir ein Fehler drin oder vielleicht kann man da noch vereinfachen, aber so ist die grobe Vorgehensweise.

    Okay... stimmt, meins funktioniert mal nicht^^

    Emm, ich hab jetzt deine vier Bedingungen übernommen... was mach ich jetzt mit denen?^^ Ich muss ja bestimmt irgendwie überprüfen, welche wirklich stimmen und welche nicht



  • mal dir die bereiche doch mal auf, vielleicht hast du dann ne idee. 😉



  • okay...^^

    wenn ich x2+2xx^2 + 2x und y22yy^2 - 2y aufzeichne hab ich ja 2 parabeln die sich schneiden... im grunde ja, der bereich, der kleiner (unter) y22yy^2 - 2y liegt ist der gesuchte bereich, oder nicht?

    aber wie schreibe ich den jetzt formal auf?



  • nochmal zurück zum positiv/negativ: wann ist denn (y+x)(y−x−2)>0?

    Na wenn beide Teilausdrücke positiv sind, oder wenn sie beide negativ sind, also wenn y+x > 0 und y−x−2>0 gilt oder eben wenn y+x < 0 und y−x−2 < 0 gilt.

    Das sind beides lineare Ungleichungen und die entsprechenden Bereiche kannst Du ja einfach mal aufmalen...



  • Neuer Ansatz:

    Ich hab das ganze nochmal von vorne angefangen... Lösung ist ziemlich simpel...

    wenn wir y22y>x2+2xy^2 - 2y > x^2 + 2x mit +1 erweitern, haben wir auf beiden Seiten eine binomische Formel, links die zweite, rechts die erste.

    Wenn wir das dann zu Ende rechnen haben wir am Ende:

    y>x+2y > x + 2

    x+2x + 2 ist eine Gerade, somit ist yy jeder Wert, der im Graph über der Geraden x+2x + 2 liegt.

    Danke für die Hilfe 😉



  • Namenloser324 schrieb:

    y²-2y > x²+2x

    <=> (y-1)²>(x+1)²

    Meines Erachtens nach ist das der einfachste Weg. Um mich nochmal schamlos selbst zu zitieren 😛



  • Ich sehe gerade, dass ist das was du nun versucht hast. Du hast jedoch einen Denkfehler gemacht:

    Das Quadrat bewirkt, dass sowohl das negative von dem Term der quadriert wird als auch das positive die Ungleichung erfüllt.
    Du hast also zwei verschiedene Ungleichungen die es beide zu erfüllen gilt


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