Unterschied Punkt zu Vektor



  • Kann mir einer den Unterschied zwischen einem Punkt und einem Vektor erklären, beide habe ja im 3D-Raum drei Koordinaten?



  • Einen Unterschied gibt es mehr oder weniger nur, wenn man einen machen will: Ein Punkt ist ein Ortsvektor ...



  • Interpretationssache: Ein Vektor ist translationsinvariant, ein Punkt nicht.

    3D-Raum drei Koordinaten

    Ich kann mit 3 Koordinaten noch ganz andere Sachen beschreiben, aber das sind trotzdem keine 3D-Vektoren nur weil sie gleich dargestellt sind.


  • Mod

    Das eine ist, wo München auf der Landkarte ist, das andere ist die Richtung nach München.



  • SeppJ schrieb:

    Das eine ist, wo München auf der Landkarte ist, das andere ist die Richtung nach München.

    Naja, das ist die Variante die man irgendwann mal in der Schule hört, aber mathematisch gesehen wäre "stark vereinfach" da wohl noch eher höflich ausgedrückt... :p


  • Mod

    Ja nu, die mathematische Beschreibung hat er ja offensichtlich nicht verstanden. Es ist eher als Analogie zu verstehen, dass zwei Angaben, die die Lage von München als ein paar Zahlen ausdrücken, doch von ihrer Art her grundverschieden sein können.

    Außerdem finde ich es es auch mathematisch nicht so weit hergeholt. Ein (Koordinaten-)punkt entspricht ziemlich genau einer Landkartenkoordinate (ist nicht umsonst das gleiche Wort), da beide die Lage eines Ortes bezüglich eines festen Koordinatensystems angeben, einmal ist das System ein idealisiertes mathematisches Konstrukt, das andere Mal eben Linien auf einem Stück Papier. Der Vektor ist schwerer zu fassen. In der Geometrie ist ein Vektor eine Größe mit Richtung und Länge, die Länge lässt man in der Alltagssprache aber gerne weg, wenn man von Richtungsbeschreibungen redet, da man eben davon ausgeht, dass der Reisende weiß wenn er da ist 🙂 . Eine konkrete Ortsbeschreibung wird aus einer Richtung/Längenkombination bzw. einem Vektor aber erst mit einem Bezugspunkt,auch hier hält die Analogie. In der Schulmathematik wird so oft der Koordinatenursprung als Bezugspunkt benutzt, dass man da durchaus durcheinander kommen kann und einen Punkt mit einem Vektor verwechseln kann. Bei der Landkartenanalogie macht man diesen Fehler im Alltag jedoch nicht, da würde niemand auf die Idee kommen, geographische Koordinate und Wegbeschreibung als das gleiche anzusehen.

    Woah, das wurde jetzt langer als beabsichtigt. 🙂



  • Ein Vektor ist ein Element aus einem Vektorraum (Die Defi kann man nachlesen). Ein Punkt ist ein Vektor aus einem Vektorraum dem man eine anschauliche Bedeutung gegeben hat (siehe über mir). Punkt :).

    Hm, obwohl das zur Umgangssprache auch nich so richtig passt, oder?



  • Bei einem Punkt handelt es sich um einen Vektor, bei dem der Ursprung halt immer gleich dem Ursprung des Koordinatensystems ist.

    Beim Punkt braucht man also keine weiteren Angaben um Position, Länge und Richtung so bestimmen. Der Vektor ist losgelöst von dem Koordinatenursprung und kann z.B. einen Punkt verändern, ohne dass er dabei eine eigene Position hat. Seine Werte beschreiben die Richtung und Stärke der Veränderung, also Rotation und Translation zum Beispiel.

    Ich hoffe das als Freizeitprogrammierer so einigermaßen beschrieben zu haben, wenn nicht bitte verbessert mich.


  • Mod

    Lichtweite schrieb:

    Bei einem Punkt handelt es sich um einen Vektor,

    Nein, Punkt und Vektor sind gänzlich verschiedene Konzepte. Ein Punkt ist kein Vektor.

    Beim Punkt braucht man also keine weiteren Angaben um Position, Länge und Richtung so bestimmen.

    Ein Punkt hat keine Länge und keine Richtung. Nur eine Position.

    ScottZhang schrieb:

    Ein Vektor ist ein Element aus einem Vektorraum (Die Defi kann man nachlesen). Ein Punkt ist ein Vektor aus einem Vektorraum dem man eine anschauliche Bedeutung gegeben hat (siehe über mir). Punkt :).

    Hm, obwohl das zur Umgangssprache auch nich so richtig passt, oder?

    Du setzt hier den allgemeinen mathematischen Vektorbegriff mit dem geometrischen Vektorbegriff gleich, daher die Verwirrung. Geometrische Vektoren sind eine Untergruppe der allgemeinen Vektoren (=Vektorraumelemente). Hier im Thread scheint es bisher nur um geometrische Vektoren, also Parallelverschiebungen, zu gehen.



  • Ok, so habe ich mir das bis jetzt immer selbst erklärt.
    Ich rede auch von der Geometrie, also der berühmten 3D-Vektorgrafik, was anderes habe ich noch nicht mit Vektoren gemacht. Da ist es halt so das ich einen Punkt auch als Vektor sehen kann, der seinen Ursprung halt bei 0,0,0 hat.

    Anscheinend bin ich da mathematisch voll auf dem Holzweg, bis jetzt hat alles funktioniert wie erwartet 😃



  • Die Koordinaten eines Punktes sind in der Regel Vektoren. Der Punkt selbst ist kein Vektor, sondern eben ein Punkt...



  • Punkt=Vektor aber Vektor!=Punkt Ich bin verwirrt 😕

    Ich sehe halt einen Punkt in meiner virtuellen 3D-Welt als Ortsvektor an, ist das so falsch?



  • Lichtweite schrieb:

    Ich sehe halt einen Punkt in meiner virtuellen 3D-Welt als Ortsvektor an, ist das so falsch?

    Ja, die Koordinaten des Punktes in einem bestimmten Koordinatensystem sind ein Ortsvektor. Der Punkt selbst ist nicht seine Koordinaten, sondern ein geometrisches Objekt. Koordinaten beschreiben lediglich, wo sich ein Punkt befindet...



  • Ah ok, also betitle ich hier den Punkt ganz falsch. Ich meinte damit immer die Koordinaten des Punktes...tja man lernt nie aus. 😉



  • Lichtweite schrieb:

    Punkt=Vektor aber Vektor!=Punkt Ich bin verwirrt 😕

    Ist doch sogar eher anders herum. Du kannst einen Vektor als Punkt im Vektorraum ansehen. Aber um einen allgemeinen Punkt mit einem Vektor auszustatten, brauchst du halt zusätzliche Strukturen.



  • Hehe, ja das macht Sinn. Da kann man eine Menge fehlinterpretieren wenn man nur vom Punkt oder Vektor redet, ohne das genauer zu definieren.



  • SeppJ schrieb:

    Du setzt hier den allgemeinen mathematischen Vektorbegriff mit dem geometrischen Vektorbegriff gleich, daher die Verwirrung. Geometrische Vektoren sind eine Untergruppe der allgemeinen Vektoren (=Vektorraumelemente). Hier im Thread scheint es bisher nur um geometrische Vektoren, also Parallelverschiebungen, zu gehen.

    Aber das ist AFAIK keine algebraische Unterscheidung, sondern nur eine physikalische. Mathematiker machen da keinen Unterschied. Die 1000 Threads zu dieser Frage rühren exakt von diesen 2 Sichtweisen. Es wird erklärt, was ein Vektor ist, und dabei meistens die mathematische Definition genommen. Dann werden irgendwelche ominösen Unterscheidungen zwischen Punkten und Vektoren eingeführt, die sich 0 in der mathematischen Struktur widerspiegeln.(Die analytiker haben zwar das Konzept, dass Ableitungen transponierte vektoren sind, aber das kann man in einem Vektorraum nicht darstellen - und es macht bei Anwendungen in der Mechanik keinen Sinn). Kein Wunder, dass das zu Verwirrungen führt.

    Mich würde zwar interessieren, ob es eine ordentliche(!) mathematische Theorie gibt, mit der die semantische Unterscheidung formalisiert wird, aber ich glaub nicht, dass sie dazu taugt, den Unterschied zu erklären. Sonst würden wir dis Diskussion hier nicht zum 100. mal führen 🙂
    //edit mir ist gerade die Projektive Geomtrie wieder eingefallen. Aber das wird in einer modernen LinA nicht mehr gelehrt...

    Fazit: Die Unterscheidung ist in einem mathematischen Vektorraum rein semantisch. Geometrisch gibt es Unterschiede, aber man rennt nirgendwo gegen die Wand, wenn man sagt, dass beides eben mathematische vektoren sind. Anstatt die Dinge "Punkte und Vektoren" zu nennen, würde ich vielleicht bei "Ortsvektor und Richtungsvektor" bleiben. Dann fällt der Groschen vielleicht schneller.



  • @otze: Vielleicht affine Räume? Die betten sich immerhin noch irgendwie in Vektorräume ein (oder andersrum). Ist zumindest irgendwie hübscher als projektive Räume.


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