Unbestimmtes Integral bzw. Integration durch Substitution



  • Werte Freunde,

    ich bin nicht so der Integrator, aber muss für mein Seelenheil folgendes Integral umformen (Dem geneigten Könner möge auffallen, worum es geht):
    ∫ƒ'(x-v*t)dt
    Das entzieht sich meinen unmittelbaren Möglichkeiten, daher erweitere ich das Integral mit dem Faktor -v:
    ∫ƒ'(x-v*t)*(-v)*dt
    Das würde jetzt entsprechend der Substitutionsregel:
    ∫ƒ'(x-v*t)*(-v)*dt = ∫ƒ'(y)dy
    Und damit:
    ∫ƒ'(x-v*t)*dt = -1/v∫ƒ'(y)dy

    Jetzt habe ich aber rechts halt dieses y stehen. Wenn ich einfach das Integral mit der Stammfunktion ersetze, dann hätte ich jetzt -1/v*ƒ(x-v*t), wobei ich nicht weiß, wieso ich da jetzt überhaupt x-v*t für y einsetze. Außerdem scheint auch das Vorzeichen nicht so ganz richtig sein...
    Kann sich bitte jemand erbarmen und mir das alles etwas klarer machen? 🙂



  • Ok ich probiere es mal.

    Wir wollen ∫f'(x - v * t) dt ausrechnen.

    Substitution: y = (x - v * t)

    Ableitung von y ergibt: dy/dt = -v

    => dt = (-1 / v) dy

    => ∫f'(x - v * t) dt = ∫f'(y) dt

    = ∫f'(y) (-1 / v) dy

    = -1/v * ∫f'(y) dy

    = -1/v * (f(y) + C) (C Integrationskonstante)

    Und da das Ergebnis ∫f'(x - v * t) dt = -1/v * (f(y) + C) blöd aussieht, setzen wir wieder unsere Substition y = (x - v * t) ein

    => ∫f'(x - v * t) dt = -1/v * (f(x - v * t) + C)



  • Substitution: \begin{align*}\int_{a}^{b} f(\phi(t))\phi'(t)dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)dx\end{align*}
    Also: f(xvt)=f(ϕ(t))f'(x-vt) = f'(\phi(t)) mit ϕ(t)=xvt\phi(t) = x - vt. Für das Integral von ff' und y=ϕ(t)y = \phi(t) ist dann
    \begin{align*}\int_{a}^{b} f'(x-vt)dt = \int_{a}^{b} f'(\phi(t))dt = -\frac{1}{v}\int_{a}^{b} f'(\phi(t))\phi'(t)dt = -\frac{1}{v}\int_{\phi(a)=x-va}^{\phi(b)=x-vb} f'(y)dy = -\frac{1}{v} (f(x-vb) - f(x-va))\end{align*}

    Beim substituieren wird nichts erweitert, du versucht die gegebene Funktion auf die Form f(ϕ(t))ϕ(t)f(\phi(t))\phi'(t) zu bringen.



  • Haha! Danke Dir!
    Dann stimmt das -1/v also! Dann ist hier im Skript, der die gesamte Rechnung auch einfach mal überspringt (Glücklicherweise auch direkt über einen Folienwechsel), ein Vorzeichenfehler und ich war immerhin schon irgendwie auf dem richtigen Weg...
    Danke nochmal!

    An Jodocus: "Erweitern" war auch nicht so der Richtige Begriff, ich wollte es durch Multiplikation mit (-v) eben nur auf die Form bringen, die ich für die Wikipedia-Formel brauchte... Und wenn ich das korrekt gemacht hätte, wäre ich bestimmt auch irgendwie zur Lösung gekommen... So wie Du es vormachst, so hätte ich es gerne gemacht 😃
    Ich habe bestimmt schon einige Anläufe unternommen, mit dieser Regel klarzukommen, aber irgendwie harmoniert das nicht so gut mit meiner verqueren Logik.


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