Rand einer Menge

[Topologie]

$(\mathcal O,$ ist ein topologischer Raum.
Wie kann ich beweisen, dass jede Umgebung für einen Punkt x auf dem Rand einer Menge
$N \subseteq X$ mit $x \in \overline{N} \cap \overline{X \setminus N}$
einen nichtleeren Schnitt mit N hat?
Meine Definitionen:
$\overline N := \bigcap\limits_{\{A \subseteq X | N \subseteq A, X \setminus A \in \mathcal O \}}{A}$ (Also der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die N enthalten)
$N^\circ := \bigcup\limits_{\{A \subseteq X | A \subseteq N, A \in \mathcal O\}}{A}$(Also die Vereinigung aller offenen Mengen, die in N enthalten sind)
$x \in N$ ist Berührpunkt $\Leftrightarrow x \in \overline N$
$x \in N$ ist Innerer Punkt $\Leftrightarrow x \in N^\circ$
$N \subset X$ ist Umgebung von $x \Leftrightarrow x$ ist innerer Punkt von N.

Ich will sowas wie einen Beweis per Widerspruch versuchen:
Sei $U \subset X$ eine Umgebung von $x$ mit $U \cap N = \emptyset$. Jetzt würde ich gerne folgern, dass $x \in \partial U$ und damit x \not\in U^\circ. Widerspruch, also U \cap N \not= \emptyset. Oder so ähnlich. Kann mir jemand helfen?

[Mr. Trivialo]

Trivial. QED

[Topologie]

Für mich nicht. Was ist trivial?

[Bashar]

Wenn du oBdA annimmst, dass U offen ist, ist X\U abgeschlossen; überlege dir, was das für $\overline{N}$ bedeutet.

[Topologie]

Jetzt weiß ich nur, dass $\overline N \setminus \{x\} \subseteq X \setminus U$, da $x \in U$. Jetzt weiß ich aber nichts mehr über $\overline N \setminus \{x\}$.

[Bashar]

Nein, du weißt sogar, dass $\overline{N} \subseteq X\setminus U$.

[Topologie]

Hä? $x$ ist doch definitionsgemäß sowohl in $U$ alsauch in $\overline N$. Das muss doch auf jeden Fall bedeuten, dass x \not\in X \setminus U. Und dann kann ganz $\overline N$ schon garnicht mehr in $X \setminus U$ liegen. Irgendwie blicke ich es nicht.

[Bashar]

Ja. Wieso wundert dich das, ist das dein erster Widerspruchsbeweis?

[Topologie]

Ich dachte, du meinst einen anderen Ansatz. Aber ich sehe hier keinen Widerspruch, außer dass ich für die letzte Aussage keinen Sinn erkennen kann:
Sei $U$ eine Umgebung von $x$ mit $U \cap N = \emptyset$. O.B.d.A. sei $U$ offen, also $X \setminus U$ abgeschlossen.
Jetzt soll ich wissen, dass $\overline{N} \subseteq X\setminus U$ gilt (wieso?) und gleichzeitig steht in meinem letzten Post, dass es nicht so ist. Wo kommt diese Annahme her?

[Bashar]

Topologie schrieb:

Ich dachte, du meinst einen anderen Ansatz. Aber ich sehe hier keinen Widerspruch, außer dass ich für die letzte Aussage keinen Sinn erkennen kann:
Sei $U$ eine Umgebung von $x$ mit $U \cap N = \emptyset$. O.B.d.A. sei $U$ offen, also $X \setminus U$ abgeschlossen.
Jetzt soll ich wissen, dass $\overline{N} \subseteq X\setminus U$ gilt (wieso?)

$\overline{N}$ ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die N enthalten. Da X\U N enthält (wegen $U\cap N = \emptyset$), ist X\U eine dieser Mengen. Also ist auch $\overline{N}\subseteq X\setminus U$ (ist das klar? $A\cap B \subseteq A$)

und gleichzeitig steht in meinem letzten Post, dass es nicht so ist. Wo kommt diese Annahme her?

Die einzige Annahme ist die Existenz von U disjunkt N. Diese führt zu dem obigen Widerspruch.

[Topologie]

Bashar schrieb:

Da X\U N enthält (wegen $U\cap N = \emptyset$), ist X\U eine dieser Mengen.

Das sehe ich ein.

Bashar schrieb:

Also ist auch $\overline{N}\subseteq X\setminus U$ (ist das klar? $A\cap B \subseteq A$)

Das erkenne ich nicht mehr. Warum können keine Punkte aus $\overline N$ in $U$ liegen?

[Bashar]

Topologie schrieb:

Bashar schrieb:

Also ist auch $\overline{N}\subseteq X\setminus U$ (ist das klar? $A\cap B \subseteq A$)

Das erkenne ich nicht mehr. Warum können keine Punkte aus $\overline N$ in $U$ liegen?

Weil jeder Punkt aus $\overline{N}$ in jeder abgeschlossenen Menge, die N enthält, liegt. Insbesondere liegt also jeder Punkt aus $\overline{N}$ in X\U. Das ist nichts weiter als die Definition des Durchschnitts, das lässt sich nicht mehr einfacher sagen. Über die Hürde musst du es jetzt selbst schaffen.

[Topologie]

Bashar schrieb:

Weil jeder Punkt aus $\overline{N}$ in jeder abgeschlossenen Menge, die N enthält, liegt. Insbesondere liegt also jeder Punkt aus $\overline{N}$ in X\U. Das ist nichts weiter als die Definition des Durchschnitts, das lässt sich nicht mehr einfacher sagen. Über die Hürde musst du es jetzt selbst schaffen.

Stimmt, jetzt sehe ich es ein. Mit meiner obigen Aussage folgt dann tatsächlich der Widerspruch, also kann es keine disjunkte Umgebung geben, in der $x$ auf $\delta N$ liegt.

Danke für deine Geduld.