Orientierungserhaltende Isometrie



  • Ich soll für eine Übungsaufgabe zeigen, dass für eine orientierungserhaltende
    Isometrie f:RnRnf : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n gilt:

    det(f(a_1),f(a_2),...,f(a_n))=det(a_1,a_2,...,a_n)det( f(a\_1), f(a\_2), ..., f(a\_n)) = det(a\_1, a\_2, ..., a\_n)

    Ich weiß nicht wie ich mir das so richtig vorstellen kann.

    Zum ersten habe ich Probleme mit "orientierungserhaltend".
    In einer Stelle des Skriptes wird erwähnt, dass eine Isometrie orientierungserhaltend ist, wenn die dazugehörige Matrix die Determinante 1 hat.
    Das ganze ist dort aber im Kapitel über orthogonale Matrizen.

    Das einzige was ich über Isometrien weiß ist, dass es sich um längenerhaltende lineare Abbildungen handelt. Also ||f(v)|| = ||v||

    hat nun jede Isometrie eine orthogonale Matrix? Oder eine Symmetrische?
    Ich blicke da im Moment nicht ganz durch.
    Im Skript ist immer wieder abwechselnd von symmetrischen und orthogonalen Matrizen die Rede und dann kommt wieder was von Isometrien.

    Im Netz finde ich auch die Bemerkung dass für eine Isometrie nicht nur die Längen sondern auch die Winkel erhalten bleiben müssen. Wenn ich mir das vorstelle, müsste die Matrix orthonormal sein, da ja die kanonische Basis von einer Isometrie wieder auf zueinander senkrecht stehende Einheitsvektoren abgebildet werden müssten.

    Aber wie komme ich jetzt auf irgendetwas für meine Aufgabenstellung verwertbares?



  • Das liegt daran, dass det(f) = 1.



  • Hmm, wie genau kann ich das anwenden?

    Über die Multilinearität der Determinante?
    Was schön wäre, wäre ja etwas in der Art det(f(a)) = det(f) * det(a)

    Aber ich sehe nicht wie ich so etwas erreichen könnte.



  • Nachtrag:

    Oder bin ich gar blind und es ist einfach:

    f entspricht ja als linearer Abbildung eine Matrix A. Diese hat det(A) =1
    und f(a) = A*a und somit

    det(f (a) ) = det( A* a) = det(A) * det(a) = 1 * det(a)

    ?



  • 👍 🕶



  • was soll denn det(a) sein?



  • Verpacke die Vektoren a_i in eine Matrix a.



  • Worauf ich hinaus will: a ist ein Vektor (sonst könnte man nicht f(a) hinschreiben). Ebenso ist f(a) ein Vektor (f ist ja eine lineare Abbildung von R^n nach R^n). Dann machen aber die Ausdrücke det(a) und det(f(a)) keinen Sinn. Damit steht da bis jetzt im wesentlichen syntaktischer Müll.



  • Wenn man a = (a_1, ..., a_n) setzt, ist a und f(a) = A*a eine quadratische Matrix.



  • Das ändert aber nix dran, dass das so wie es da steht nicht sauber ist. Was man im wesentlichen sagen muß ist, dass für f(x) = A*x die Matrix (f(a_1),...,f(a_n)) nix anderes ist als A*(a_1,...,a_n). Danach kann man dann die Determinante drüberbügeln.


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