Klausurvorbereitung Analysis



  • Ich habe hier einige Ja/Nein - Fragen, bei denen ich mir nicht sicher bin, wie die Antworten sein müssten.

    Ich würde mich freuen, wenn mir jemand die Lösungen posten kann, Begründung wäre schön, ist aber nicht unbedingt notwendig. Ich versuche dann anhand der Lösungen zu verstehen, warum das so ist und die Begründung selbst zu finden. Es ist halt einfacher die Begründung zu finden, wenn man weiß worauf es hinaus läuft.

    Bei vielen Punkten habe ich eine starke Vermutung, möchte sie aber besser nicht angeben

    1. Gibt es eine negativ definite reelle 2*2 Matrix deren Determinante größer 0 ist?

    2. Gibt es eine indefinite reelle 2*2 Matrix deren Determinante größergleich 0 ist?

    3. Gibt es eine nicht-konstante Funktion D -> R deren Ableitung für alle x aus D gleich 0 ist?

    4. Gibt es eine Funktion f:[0,1] -> R und eine Partition P von [0,1] so dass
    S(f,P) <= s(f,P) ?
    S und sind dabei Ober und Untersumme des Riemann-integrals.

    5. Gibt es eine stetige Funktion f:[0,1] -> R , die keine globalen Extrema besitzt?



  • 1.) und 2.) http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Eigenwerte und http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Eigenwerte
    3.) vielleicht http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function oder http://en.wikipedia.org/wiki/Step_function aber ich glaube die treffen es nicht ganz, deswegen nein.
    4.) aus der Definition http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Ober-_und_Untersummen heraus wuerde ich sagen: nein.
    5.) http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Satz_vom_Minimum_und_Maximum

    Google ist dein Freund! Alle Schlagwoerter stehen in deinen Fragen, du must die Informationen nur verbinden.

    Beispiel: 1.) Determinante als Produkt der Eigenwerte. Negativ definit wenn alle Eigenwerte negative sind. Bei 2x2 gibt es 2 Eigenwerte, d.h. 2 negative Eigenwerte fuehren zu einer positiven Determinanten.

    2.) indefinite: ein Eigenwert positiv der andere negative ist. => Determinante als Produkt von Eigenwerten kann nie positive werden.



  • Vielen Dank, Knivil.

    Im großen und ganzen würde sich das mit meinen Vermutungen decken. Einige fragen dennoch, wo ich manchmal eben nicht sicher bin:

    Zu den Matrizen:
    Gibt es 2*2 Matrizen, die keine Eigenwerte haben?
    Wenn ja, was ist mit diesen?

    Zur nichtkonstanten Funktion:
    ich dachte auch erst an Treppenfunktion oder so, aber da ist ja die Ableitung an einigen Punkten nicht definiert, da nicht stetig. Also dürfte es keine geben.
    Aber beweisen hab ich das damit noch lange nicht.

    Zur Ober/Untersumme.
    Ich dachte an eine Funktion, die vollkommen unterhalb der x-Achse verläuft.
    Drehen sich da nicht die Vorzeichen um?

    5. War ich einfach zu blöd . Hätte das zwar vermutet, aber dass es einen schönen Beweis gibt ....



  • Jede reelle n x n Matrix hat (mit Vielfachheiten gezählt) genau n Eigenwerte (die aber nicht notwendigerweise selbst reell sind). Wieso?

    Zur nicht-konstanten Funktion: Stichwort Zusammenhang.

    Zu Ober- und Untersummen (in der Befürchtung etwas offensichtliches zu übersehen): Was ist mit konstanten Funktionen (Gleichheit ist ja eingeschlossen, deiner Frage nach)?



  • Zur Ober/Untersumme. Wurde schon angemerkt: konstante Funktion. Ansonsten ist Untersumme mittels inf definiert. Zwar ist die bei im Negativen verlaufende Funktionen betragsmaessig groesser als sup, aber eben negativ.


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