Ableitung



  • Ich würde gerne wisen, wie man so etwas ableitet:

    ddxx0xg(s,x)ds\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x_0}^x g(s,x) ds



  • erstmal das unbestimmte integral bestimmen, dann das bestimmte und schließlich nach x ableiten



  • Wie meinst du das?

    Von g kann ich keine Stammfunktion bilden.



  • dann hast du ein Problem.

    //dit Versuche ob du eventuell mit der Grenzwertdefinition der Ableitung voran kommst. Eventuell erlaubt deine Funktion irgendwelche Tricks. Ansonsten sehe ich schwarz.



  • Ich würd mal sagen ganz klassich: Transformation auf (in x fixes) Referenzgebiet, Ableiten und wieder zurück transformieren.



  • Kann man die Ableitung nicht ins Integral ziehen?



  • Mit Physikernotation für Funktionalableitung 🙂 und F(x,f):=x0xf(s)dsF(x,f) := \int_{x_0}^x f(s) ds

    ddxx_0xg(s,x)ds=ddxF(x,g(.,x))=xF(x,g(.,x))+gF(x,g(.,x))xg(.,x)=g(x,x)+F(x,xg(.,x))=g(x,x)+_x0xxg(s,x)ds\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{x\_0}^x g(s,x) ds = \dfrac{d}{dx} F(x, g(.,x)) = \dfrac{\partial}{\partial x} F(x, g(.,x)) + \dfrac{\partial}{\partial g} F(x, g(.,x)) \dfrac{\partial}{\partial x} g(.,x) = g(x,x) + F(x,\dfrac{\partial}{\partial x} g(.,x)) = g(x,x) + \int\_{x_0}^x \dfrac{\partial}{\partial x} g(s,x) ds

    Edit: Hatte x und s vertauscht.



  • Welche Annahmen stecken da in g? Im Allgemeinen darf man ja nichtmal die Ableitung ins Integral ziehen, wenn die Integrationsgrenzen unabhängig von der differenzierten Variable sind.



  • Hmm, ich habe das ja als Verkettung von
    x(x,g(.,x))x \to (x, g(.,x))
    und
    (x,g(.,x))x0xg(s,x)ds(x, g(.,x)) \to \int_{x_0}^x g(s,x)ds
    gesehen und dann die Kettenregel angewandt.

    Damit das geht müssen beide Abbildungen differenzierbar sein.
    Wenn man im mittleren Raum mal den Betrag plus die L1-Norm als Norm ansetzt, sollte es mit folgenden Voraussetzungen klappen:
    x -> g(x,x) stetig
    s -> g(x,s) stetig und integrierbar
    x -> g(x,.) diffbar in L1-Norm
    (ohne Gewähr, da der mittlere Raum so nicht vollständig ist; braucht man das hier?)


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