Inverses Element



  • Hallo Forum,

    in Zn\mathbb Z_n^* sind alle Elemente, die ein Inverses zu n haben.

    Beispiel: Z16={1,3,5,7,9,11,13,15}\mathbb Z_{16}^* = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}.

    Warum aber sind nicht 14 und 2 drin? 14 + 2 mod 16 ist doch auch 0.


  • Mod

    Die Operation dieser Gruppe entspricht aber der Multiplikation der natürlichen Zahlen modulo 16.

    Guckst du:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_group_of_integers_modulo_n



  • Zn\mathbb{Z}_n mit der Addition von Restklassen ist eine abelsche Gruppe, so dass jedes Element ein additives Inverses hat. Dazu braucht man keine besondere Kennzeichnung. Was man mit Zn\mathbb{Z}_n^* meint sind die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses haben. Zn\mathbb{Z}_n^* nennt man dann die Einheitengruppe von Zn\mathbb{Z}_n, ihre Elemente Einheiten.

    Jetzt sieht man leicht ein, dass x nur dann Einheit von Zn\mathbb{Z}_n sein kann, wenn x teilerfremd zu n ist. 14 und 2 sind gerade, d.h. alle ihre Vielfachen sind gerade, es kann also nie 1 (mod 16) herauskommen.



  • danke schonmal. aber was ist denn das Inverse von 15? Ich dachte, dass beim inversen dann 15 + x mod 16 = 1 gelten muss, da 1 das neutrale Element ist. x muss also 2 sein, aber 2 ist ja nicht drin....



  • äh...das + soll ein * sein. es gilt ja die Multiplikation



  • 15*15 = 225 = 224+1 = 1 (mod 16)



  • ahh^^. thx



  • Kann man sich auch einfacher überlegen (wenn man dran denkt :p): 15 ≡ -1 (mod 16), und -1 * (-1) = 1.



  • Bashar schrieb:

    Kann man sich auch einfacher überlegen (wenn man dran denkt :p): 15 ≡ -1 (mod 16), und -1 * (-1) = 1.

    Hat mir in der entsprechenden Klausur voll Rechnen gespart. (-1)(-3) [oder sowas war es] zu rechnen ist schon flott statt 1513 [oder sowas].


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