Beweis Zahlenfolge



  • Hoi,
    Ich versuche gerade ner Freundin bei ihren Matheaufgaben zu helfen - nur blöd dass ich von Beweisen mittlerweile keinen Peil mehr habe und deswegen auf keine Lösung komme. (Denke der Beweis sollte einfach sein, habe mir nur in den letzten Jahren jedes mathematische Wissen abgetötet...)

    xnx_n sei eine Nullfolge.
    cnc_n sei eine beschränkte Zahlenfolge.
    Z.z.: Die Folge yny_n mit y_n:=c_nxny\_n := c\_n x_n konvergiert für n>n -> \infty gegen 00.

    Geht das nicht sogar per Induktion über n?

    Würden uns freuen wenn jemand seine sozialen 2 Minuten hätte um ne Lösungsidee/Lösung dazulassen. 🙂
    Danke & Grüße,
    Ethon



  • Induktion eher nicht.
    Sei C > |ck| f.a. k aus IN (ex. wg. Beschränktheit).
    Sei e > 0. Dann gibt es n0 aus IN mit |x~n[t]| < e/C für n > n[t]0~. Dann ist |xncn| < C|x[t]n[/n]| < C(e/C).



  • Das hat nicht funktioniert...diesmal mit Unterstrich.

    C wie oben, e > 0 beliebig. Dann ex. n_0 aus IN mit |x_n| < e/C f.a. n > n_0, weil x_n konvergent gg. 0.
    Damit ist |c_n * x_n| < C|x_n| < C(e/C) = e für alle n > n_0.



  • Ich weiss nicht genau wie du das mit Induktion beweisen möchtest.

    Hier ein anderer Ansatz:
    Da cnc_n eine beschränkte Folge ist existiert per Definition ein MRM \in \mathcal{R}, so dass cnMnNc_n \leq M \;\forall n \in \mathcal{N}.
    Dann hast du
    limnc_nx_n=limnc_nx_nlimnMx_n=Mlim_nxn=M0=0lim_{n\to\infty} |c\_n x\_n| = \lim_{n\to\infty} |c\_n| \cdot |x\_n| \leq \lim_{n\to\infty} M \cdot |x\_n| = M \cdot \lim\_{n\to\infty} |x_n| = M \cdot 0 = 0.

    *Edit
    Sorry für die vielen Edits. Latex Vorschau funktioniert im Moment nicht.



  • Super, dankeschön!


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