Verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten



  • Hallo,
    bei Wikipedia steht, dass ein Viereck in einer Eben zeige, dass verallgemeinerte baryzentrische Koordinaten nicht eindeutig seien.

    http://de.wikipedia.org/wiki/Baryzentrische_Koordinaten#Verallgemeinerte_baryzentrische_Koordinaten

    Diesem geometrischen Beispiel kann ich nicht folgen. Warum wir das dadurch klar?

    Danke schonmal



  • In der Ebene reicht ein Dreieck aus, um jeden Punkt mit normierten(!) baryzentrischen Koordinaten darzustellen. Nimmst Du einen vierten Eckpunkt dazu, kriegst Du mehrere Möglichkeiten, einen Punkt darzustellen - sollte eigentlich klar sein, sonst kannst Du das natürlich auch formal nachrechnen.



  • Das Quadrat wird als allgemeines Beispiel für ein Polytop genannt, aber nicht explizit als Gegenbeispiel, auch wenn es eins ist.

    Hier die Lösung:

    da du 4 Punkte hast, sind deine Baryzentrischen Koordinaten als 4-tupel (x1,x2,x3,x4) definiert. In der Ebene brauchst du aber nur 2 Freiheitsgrade um jeden Punkt eindeutig zu definieren. Die normierung nimmt dir einen Freiheitsgrad, bleiben 3.

    Beispiel: Quadrat mit Punkten (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

    (0.5,0.5) = 0.5*(0,1)+0.5*(1,0) => Baryzentrisch: (0,0.5,0.5,0)
    (0.5,0.5) = 0.5*(0,0)+0.5*(1,1) => Baryzentrisch: (0.5,0,0,05)


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