Ungleichung beweisen, G(M)<=A(M)



  • Hallo und schönen Abend,

    ich versuche gerade folgende Ungleichung zu beweisen:

    (IV)(a1*...*an)^(1/n) <= (a1+...+an)/n

    Das ist links das geometrische Mittel und rechts das arithmetische.
    Die Aufgabe verlangt, dass ich das per vollständige Induktion beweise. Ich krieg es allerdings gar nicht hin, weder mit Induktion noch irgendwie anders.
    Bis jetzt habe ich Ungleichungen immer dadurch beweisen, dass ich die Ungleichung so umgeformt habe, dass 0 <= Term am Ende dastand und dann durch Logik gezeigt war, dass dies gilt. zB für reelle Zahlen a,b gilt natürlich, dass 0 <= (a+b)^2 ist.
    Das geht hier natürlich nicht mehr, das ist zu allgemein und ich kann auch so keine binomischen Formeln mehr anwenden, sodass ich auf (Term)^2 komme.

    Per Induktion komme ich auch nicht weiter. Nach dem Schritt finde ich keine Möglichkeit, irgendwie die Induktions-Vorraussetzung wieder einzubauen.

    Also das hier:
    (a1*...*an+1)^(1/n+1) <= (a1+...+an+1)^n+1 irgendwie so umzuformen, dass die IV wieder irgendwie vorkommt.

    Hab ein paar wilde Umformungen probiert, zB mal hoch n+1 genommen, oder mal den n+1, etc. aber das hat alles nichts geholfen.

    Die Angabe lässt darauf schließen, dass man irgendwie auf ein Term in der Form der Bernoullie-Ungleichung kommen soll. Allerdings krieg ich das auch überhaupt nicht hin, ich weiß weder was mein x noch was mein n sein soll (( 1+x)^n >= 1+nx )

    Hat von Euch jemanden eine Idee und könnte diese vielleicht auch eben aufzeigen?
    Gibt eventuell allgemeine Tricks die man anwenden kann?

    Danke schon mal !



  • Allgemeiner Trick: Wikipedia 😉



  • Uups.


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