Stetigkeit, Differenzierbarkeit



  • Wie geht man bei dem Aufgabentyp vor?

    Übeprüfen sie ob f stetig, partiell diffbar , total diffbar ist:
    f(x,y) = \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} für (x,y) \neq (0,0), f(0,0) = 0

    Ich verstehe das mit dem Folgenkriterium schon für die Stetigkeit nicht.

    So ein Anfang wie sei (x_n, y_n) eine Nullfolge -> (0,0) soll irgendwie zum Ergebnis führen, aber ich versteh noch nicht ganz wie



  • shisha schrieb:

    Wie geht man bei dem Aufgabentyp vor?

    Bei vermuteter Unstetigkeit: konkrete Folge finden
    Bei vermuteter Stetigkeit: Nachweis für alle Folgen führen (hier z.B. mit Polarkoordianten)



  • Man sieht recht schnell, dass diese Funktion stetig ist. Weil sie eine Verkettung stetiger Funktionen ist, ist sie sowieso überall stetig, bis auf (0,0). D.h. du musst zeigen, dass sie auch auf (0,0) stetig ist.

    Die Vorgehenseise, die ich genommen hätte, wäre mit der Definition der Stetigkeit in dem ich für jedes ε ein δ finde.

    Grundsätzlich geht das auch für die Nullfolge. Wähle die Nullfolge (x_n,y_n)=(1/n,1/n). Jede andere Nullfolge ist irgendwann für x und y betragsmässig kleiner als diese Nullfolge. Dann rechne f an (±1/n,±1/n) aus und lasse n gegen unendlich streben --> du erhältst 0, also ist f an 0 stetig.

    Das Vorgehen für Diffbar ist analog.



  • nullfolge schrieb:

    Grundsätzlich geht das auch für die Nullfolge. Wähle die Nullfolge (x_n,y_n)=(1/n,1/n). Jede andere Nullfolge ist irgendwann für x und y betragsmässig kleiner als diese Nullfolge. Dann rechne f an (±1/n,±1/n) aus und lasse n gegen unendlich streben --> du erhältst 0, also ist f an 0 stetig.

    Du kannst nicht von einer bestimmten Nullfolge auf alle schließen.
    Entscheidend ist, ob f(x_x, y_n) gegen Null geht, nicht ob die Folge betragsmäßig klein wird, das ist ja Vorraussetzung.


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