Hypothesentest



  • Kann mir jemand bitte mal helfen?
    Meine Übungsblätter (und -lösungen) treiben mich in den Wahnsinn.

    Folgende Aufgabe ist gegeben:

    Bei der Produktion von LCD-Bildschirmen tretet gehäuft Fehler auf.

    Um Produktionsfehler zu vermeiden, bietet sich der Einsatz eines geänderten Verfahrens an. Es wird vermutet, dass ein bestimmtes Verfahren den Anteil der fehlerhaften Bildschirme auf höchstens 12% senkt. Zur Bestätigung wird eine Stichprobe von 100 Bildschirmen untersucht.

    Bestimmen Sie mit Hilfe eines Hypothesentests, wie viele dieser 100 Bildschirme maximal fehlerhaft sein dürfen (Signifikanzniveau 5%, Radius der Sigma-Umgebung 1,64).

    Meine Lösung grob skizziert:

    Nullhypothese: p <= 12%
    Gegenhypothese: p > 12%

    Rechtsseitiger Test

    Ablehnungsbereich [19; 100]

    Es dürfen also maximal 18 Bildschirme fehlerhaft sein.

    Lösung aus der Vorgabe:

    Nullhypothese: p >= 12%
    Gegenhypothese: p < 12%

    Linksseitiger Test

    Ablehnungsbereich [0; 6]

    Wenn maximal 6 defekte Bildschirme vorliegen, ist die Behauptung der Firma, die Anzahl der defekten liege unter 12% akzeptiert.

    So, zumindest habe ich schon mal verstanden, dass der Unterschied in der Richtung des Tests liegt. Frage ist jetzt, welche Richtung ist die Richtige?
    Meiner Meinung nach muss es ein rechtsseitiger Test sein, denn die Behauptung ist "höchstens 12%", also [0; 12] und alles über 12% ]12; 100] widerspricht der Behauptung. Aber offensichtlich ist die Vorgabe ja anderer Meinung..

    PS: Ja, es sind gerade wieder Abiturprüfungen..



  • Was ist die Nullhypozhese?
    So meistens ist sie der Bestand,
    - wenn man nix ändert,
    - der kostengünstige Fall,
    - in Abi-Aufgaben meist der mit <= oder >=, und die Gegenhyputhese hat < oder > (hier ausnahmsweise nicht)

    http://de.wikipedia.org/wiki/Hypothese_(Statistik)#Nullhypothese

    Würde schon passen, daß die Nullhypothes die ist, wo das neue Verfahren nicht wirkt.



  • Ok, dass erscheint sinnig. Zumindest mal eine klare Richtlinie, an die ich mich halten kann.

    Schwierigkeiten bereitet mir aber noch die Tatsache, dass ich aus der Behauptung "höchstens 12%" "weniger als 12%" machen muss, um meine Nullhypothese aufzustellen. Ist jetzt natürlich wirklich nur ein mikroskopisch kleiner Unterschied, vom Gefühl her erscheint es mir aber nicht korrekt.

    Edit:

    Schon wieder so eine Aufgabe, wobei ich diesmal noch nicht die Vorgaben bekommen habe, um sie zu überprüfen.

    Nach intensiven Training behaupten die Spieler, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig scheitern bei höchstens 12.5% liegt. Diese Behauptung soll in 100 Spieldurchgängen überprüft werden.

    Berechnen Sie, ab welcher Anzahl gescheiterter Durchgänge diese Behauptung auf einem Signifikanzniveau von 5% zurückgewiesen werden kann.

    Weil meine Annahme ist, dass sich die Spieler verbessert haben und ich erstmal vom Gegenteil, dem alten Stand, ausgehe, muss ich aufstellen:

    Nullhypothese: p >= 12.5%
    Gegenhypothese: p < 12.5%

    Linksseitiger Test

    Aber dann habe ich doch schon wieder meine Behauptung verändert, von "höchstens 12.5% scheitern" auf "weniger als 12.5% scheitern".

    Edit2: Ok, jetzt bin ich ganz raus..

    Hier die nächste Teilaufgabe

    Interpretieren Sie, was ein Fehler 2. Art für diesen Sachverhalt bedeutet.
    Weisen Sie nach, dass dieser Fehler für das obige Testverfahren näherungsweise 70% beträgt, wenn die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Scheitern tatsächlich bei 1/6 liegt.

    So, Fehler zweiter Art bedeutet ja, meine Nullhypothese ist falsch und ich lehne sie nicht ab.

    Für H0: p >= 12.5% und einer tatsächlichen Wahrscheinlichkeit von 1/6 macht das aber gar keinen Sinn, denn bei 1/6 ist die Nullhypothese ja bestätigt.
    Anders sieht dass für H0: p <= 12.5%, hier bekomme ich auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit von 70% für den Fehler 2. Art.

    Für mich sehen die Aufgaben vom Kern her identisch aus, also würde ich auch das gleiche Lösungsschema erwarten, was aber anscheinend nicht der Fall ist.

    Habe ich jetzt hier irgendwo einen Denkfehler oder sind sich die Aufgabensteller/-löser selber nicht einig?



  • Du hast bringst da einige Dinge durcheinander; deswegen fang ich mal von vorne an:

    Hypothesentests:
    Es wird behauptet, dass mit der neuen Technik die Anzahl der kaputten Bildschirme um höchstens 12% sinkt (d.h. p≤0.12).

    Das ist aber nicht die Nullhypothese, sondern nur die Vermutung!
    Da man nicht einfach die Vermutung testen kann, muss man einen Umweg gehen: ich nehme an, dass p≥0.12 (Nullhypothese) und schau dann, was da für Werte für meine Teststatistik rauskommen bzw. berechne, unter Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese, die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik einen noch "extremeren" Wert annimmt. Ist diese Wahrscheinlichkeit kleiner als meine Irrtumswahrscheinlichkeit, spricht das gegen die Nullhypothese bzw. für meine Alternativhypothese -- also meine Vermutung.
    Man bezieht daher auch immer den Gleichheitszeichen bei der Nullhypothese mit ein (also hier ≥), da man die Nullhypothese noch nicht verwerfen will.

    Also nur weil die Vermutung das Gleichheitszeichen beinhaltet, heißt das nicht, dass deshalb auch die Alternativhypothese mit Gleichheitszeichen formuliert werden muss! Das hat so nämlich erstmal nichts miteinander zu tun; s.o.

    Also: "höchstens 12%" ist Vermutung, d.h.
    * Hypothesen: H\_0: p^{0}\geq0.12\qquad\text{gegen}\qquadH\_1: p<0.12
    * Wahrscheinlichkeit:

    \begin{align} \Pr(AnzahlKaputterBildschirme\leq x+1)&\leq 1-\alpha\\\Pr(AnzahlKaputterBildschirme* Intervall: [0;6]

    So klappt das auch für die zweite Aufgabe.


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