Kann man mathematisch beweisen, dass 0,000....01 = Null ist?



  • Schließlich gibt es ja auch den mathematischen Beweis, dass 0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist:

    1/9 = 0,111... bzw. 0,\bar 1\\ 2/9 = 0,222... bzw. 0,\bar 2\\ 3/9 = 0,333... bzw. 0,\bar 3\\ 4/9 = 0,444... bzw. 0,\bar 4\\ 5/9 = 0,555... bzw. 0,\bar 5\\ 6/9 = 0,666... bzw. 0,\bar 6\\ 7/9 = 0,777... bzw. 0,\bar 7\\ 8/9 = 0,888... bzw. 0,\bar 8\\ 9/9 = 1

    Ist aber auch 0,00000....01 = 0?

    Wobei hier .... aus n Nullen besteht.
    Und wie würde es aussehen, wenn n endlich wäre?
    Kann man also auch sagen:
    0,0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 = 0



  • 0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch



  • asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    ist es nicht



  • asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\


  • Mod

    Ist aber auch 0,00000....01 = 0?

    Wobei hier .... aus n Nullen besteht.

    Du kannst leicht folgendes zeigen:
    -Für endliche n ist das Ding ungleich 0
    -Die Folge, die man daraus basteln kann, konvergiert gegen 0

    Aber der Ausdruck 0,00000....01, wobei .... für unendlich viele Nullen steht, ist Quatsch. Was soll das sein? Eine Zahl mit (Unendlich + 7) Nachkommastellen? Das ist einfach keine Zahl, die du da angegeben hast.



  • SeppJ schrieb:

    Ist aber auch 0,00000....01 = 0?

    Wobei hier .... aus n Nullen besteht.

    Du kannst leicht folgendes zeigen:
    -Für endliche n ist das Ding ungleich 0
    -Die Folge, die man daraus basteln kann, konvergiert gegen 0

    Thx, also nur wenn n = endlich ist, ist es ungleich 0.

    Aber der Ausdruck 0,00000....01, wobei .... für unendlich viele Nullen steht, ist Quatsch. Was soll das sein? Eine Zahl mit (Unendlich + 7) Nachkommastellen? Das ist einfach keine Zahl, die du da angegeben hast.

    Okay, und wie wäre es so:

    110\LARGE\frac{1}{10^{\infty}}

    Dass ergibt genau so etwas:
    0,00000....01


  • Mod

    Unendlich ist keine Zahl. 1010^{\infty} ist keine Zahl. Das kannst du bloß wieder einer Grenzwertbetrachtung unterziehen und dann ist tatsächlich wieder:
    limn110n=0\lim_{n \to \infty}\frac{1}{10^{n}}=0
    wie nicht schwer zu zeigen ist.



  • Gegen Null schrieb:

    asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\

    Das überzeugt mich 👍
    Irgendwie habe ich in Mathe 1-4 noch nicht davon gehört.



  • asdqweret schrieb:

    Gegen Null schrieb:

    asdqweret schrieb:

    0,9¯=10,\bar{9} = 1 ist falsch

    Nein, ist es nicht, ich kann es dir auch so beweisen:

    \frac{1}{3} = 0,\bar3\\ \\ 0,\bar3 + 0,\bar3 + 0,\bar3 = 0,\bar9\\ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = \frac{1}{1} = 1\\

    also ist
    0,\bar9 = 1\\

    Das überzeugt mich 👍

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Man kann das sauber beweisen, indem man z.B. 0.9¯0.\bar 9 als geometrische Reihe aufschreibt und dann zeigt, dass diese Reihe 1 ergibt. Der Beweis über die geometrischen Reihen sollte im Internet zu finden sein.



  • Allgemein: 0,ab=0,a0,\overline{a}b = 0,\overline{a} (wobei a und b je eine beliebige Sequenz aus Ziffern ist).
    Also auch 0,01=00,\overline{0}1=0.
    Beweis (für a, b einzelnen Ziffern, analog für mehrere Ziffern): 0,\overline{a}b=\lim_{n\to\infty}a\cdot(10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots+10^{-n+1})+b\cdot 10^{-n}=a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}=a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9, wobei i=110i=19i=1910i=0,99=19\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}=\frac 19\sum_{i=1}^\infty 9\cdot10^{-i}=\frac{0,\overline{9}}9=\frac 19.

    Dazu: 0,9=limni=1n910i=limn110n+1=10=10,\overline{9}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n 9\cdot10^{-i}=\lim_{n\to\infty}1-10^{-n+1}=1-0=1



  • Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡



  • icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.



  • konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉



  • icarus2 schrieb:

    konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉

    Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…



  • konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    konvabs schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Für 0.9¯=10.\bar 9 = 1 kenne ich einen weiteren Pseudo-Beweis aus dem Gymnasium:

    Sei x=0.9¯x = 0.\bar 9. Dann ist 10x=9.9¯10x = 9.\bar 9 und durch subtrahieren erhalten wir 9x=10xx=9x=19x = 10x - x = 9 \Rightarrow x = 1.

    Die Lehrerin war eigentlich Biologin, hat aber auch Mathe unterrichtet. Da sieht man was dabei rauskommt 🤡

    Die Reihe konvergiert absolut, deshalb ist die Argumentation völlig richtig.

    Da steht nix von einer Reihe 😉

    Die Implizite Annahme ist, dass 0.̅9 = 0.9+0.09+0.009+…

    Merkst du nicht worauf in hinaus will? Es geht darum, dass man einen solchen Beweis wirklich formal genau aufschreiben muss. Klar kann man so ein Argument jenachdem retten. Vielleicht kann man auch den ersten "Beweis", der hier genannt wurde retten. Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.



  • icarus2 schrieb:

    Aber man muss es eben exakt hinschreiben und exakt argumentieren. Alles andere ist kein Beweis.

    Danke 👍



  • icarus2 schrieb:

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Echt? Zeig mal!



  • Jester schrieb:

    icarus2 schrieb:

    Sollte es nicht. Genau mit solchen "Beweisen" kann man auch zeigen, dass π=4\pi = 4 gilt etc.

    Echt? Zeig mal!

    Siehe Pi = 4. Ist im Prinzip ein intuitiv einleuchtendes Argument und ich bin mir sicher, dass dies viele als Beweis akzeptieren würden, wenn sie nicht wüssten, dass π4\pi \neq 4 gilt.

    Es zeigt einfach, dass die Intuition bei unendlichen Objekten schnell versagt. Im Fall 0.3¯+0.3¯=0.6¯0.\bar 3 + 0.\bar 3 = 0.\bar 6 ist die Intuition (man denkt sich, dass es für endlich viele Stellen gilt und schliesst dann auf unendlich viele Stellen) zwar richtig, reicht aber definitiv nicht als Beweis.



  • Ich sehe das so: die dezimaldarstellung ist genau eine kurzschreibweise für die reihe. Insofern ist das vollkommen äquivalent. Natürlich sollte man sich als angehender mathematiker/informatiker mal damit auseinandersetzen und sich das klar machen und auch lernen solche beweise möglichst präzise zu führen.

    Ich würde allerdings nicht so weit gehen das nun als einzig möglichen Weg zu bezeichnen und alles andere als falsch. Da stecken immerhin genau die richtigen Ideen drin, und wenn man die definition der dezimalschreibweise anwendet, ist es sogar genau richtig hingeschrieben. Ich denke da sollte man schon das richtige Maß an Formalisierung finden -- zu viel hilft auch nicht unbedingt.



  • zahlabschneider schrieb:

    Allgemein: 0,ab=0,a0,\overline{a}b = 0,\overline{a} (wobei a und b je eine beliebige Sequenz aus Ziffern ist).
    Also auch 0,01=00,\overline{0}1=0.
    Beweis (für a, b einzelnen Ziffern, analog für mehrere Ziffern): 0,\overline{a}b=\lim_{n\to\infty}a\cdot(10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots+10^{-n+1})+b\cdot 10^{-n}=a\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}=a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9, wobei i=110i=19i=1910i=0,99=19\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}=\frac 19\sum_{i=1}^\infty 9\cdot10^{-i}=\frac{0,\overline{9}}9=\frac 19.

    Dazu: 0,9=limni=1n910i=limn110n+1=10=10,\overline{9}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n 9\cdot10^{-i}=\lim_{n\to\infty}1-10^{-n+1}=1-0=1

    Wie kommst du von hier:

    ai=110i+blimn10na\cdot\sum_{i=1}^\infty 10^{-i}+b\cdot\lim_{n\to\infty}10^{-n}

    nach hier:

    a19+b0=a9a\cdot\frac 19+b\cdot 0=\frac a9

    Also warum? Hier kann ich, zumindest bis jetzt, nicht mehr folgen.

    Woher kommen die 1/9?
    b*0 wird ja zu 0, aber du brauchst ne 1, die du am Anfang ja für b noch hast, da gilt:
    0,ab=0,010,\overline{a}b = 0,\overline{0}1

    Ich bin verwirrt.


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