Erwartungswert eines Stochastischen Prozesses berechnen.



  • Hey 🙂

    Ich hab gerade eine kleine Schwierigkeit mit dem Verständniss einer Formel.
    Es geht um die berechnung des Erwartungswertes einer Funktion t(x) des Zufallsvektors(X1,... Xk)

    Und zwar soll der Erwartungswert E[t(x)] wie folgt berechnet werden können:
    E[t(x)] = ∑x1...∑xkt(x1,..., xk)*p(x1, ... xk)
    Wobei hier p(..) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist.

    Ich weiß nur leider nicht was genau ich jetzt aufsummieren soll...
    Ich würde jetzt jedem Messwert xi mit seiner Wahrscheinlichkeit p(xi) Multiplizieren und aufsummieren. Aber was da jetzt die K Summen sollen... KP...

    Weiß jemand bescheid?



  • Dieser Thread wurde von Moderator/in SeppJ aus dem Forum C++ (auch C++0x und C++11) in das Forum Mathematik und Physik verschoben.

    Im Zweifelsfall bitte auch folgende Hinweise beachten:
    C/C++ Forum :: FAQ - Sonstiges :: Wohin mit meiner Frage?

    Dieses Posting wurde automatisch erzeugt.


  • Mod

    Die Summen gehen über alle möglichen Konfigurationen. Das heißt, es wird jede mögliche Realisation von (x_1, ... , x_k) angesehen. Von jeder dieser Konfigurationen wird die Wahrscheinlichkeit p ihres Auftretens berechnet (wie dies genau abläuft, das ist hier nicht spezifiziert; die Formel ist ganz allgemein) und der zugehörige Funktionswert t. Das Produkt der beiden wird dann aufsummiert und man erhält den Erwartungswert von t.
    Das ist ja auch eigentlich recht anschaulich. Man berechnet, wie wahrscheinlich ein gewisser Wert t auftritt und daraus dann, was wohl der mittlere zu erwartende Wert für t ist.

    Beispiel zwei faire, sechsseitige Würfel und t die Summe der Augenzahlen:
    p(x1,x2) = 1/36 für alle x1, x2 aus 1 bis 6.
    t(x1,x2) = x1 + x2
    Dann ist der Erwartungswert der Augensumme:
    E[t] = \sum_{x\_1=1}^{6}\sum\_{x\_2=1}^{6}t(x\_1, x\_2)p(x\_1, x\_2) = \frac{1}{36}\sum\_{x\_1=1}^{6}\sum\_{x\_2=1}^{6}(x\_1 + x_2) = \frac{252}{36} = 7

    Diese Rechnung macht man so explizit eigentlich nur bei sehr einfachen Systemen. Wenn t beispielsweise irgendeine physikalische Größe ist, dann kommt man schnell in Bereiche, wo man sehr viele verschachtelte Summen (oder allgemeiner: Integrale) hätte. Mehr als man praktisch berechnen könnte. Der Trick bei der Berechnung ist dann, dass man versucht möglichst nur die Terme mit einem großen p zu finden, die viel Einfluss auf das Ergebnis haben.



  • Danke!
    ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Ich hätte es zwar so aussgerechnet aber es nicht begründen können.

    Die 1/36 kommt zustande weil du zwei zufallsvariablen mit je 1/6 aufmultiplizierst richtig?
    Wenn es jetzt aber nicht so einfach ist und ich über 4mrd mögliche Zustände habe, kann ich wie du hier erwähntest die wesentlichen bestimmen?

    Angenommen ich sage die Werte schwanken alle um 1000. Dann lege ich da eine Normalverteilung an und lege fest das ich die Wahrscheinlichkeiten von 500 bis 1500 berücksichtige, alle anderen Werte haben die wahrscheinlichekeit 0.

    Dann multipliziere ich alle Warscheinlichkeiten dieser 1000 "möglichen" werten auf und Multipliziere sie mit der Summe aller möglicher Kombinationen?

    Dh. 1000 "wahrscheinliche" werte ist schon deutlich zu viel.


  • Mod

    cl90 schrieb:

    Angenommen ich sage die Werte schwanken alle um 1000. Dann lege ich da eine Normalverteilung an und lege fest das ich die Wahrscheinlichkeiten von 500 bis 1500 berücksichtige, alle anderen Werte haben die wahrscheinlichekeit 0.

    Soll das ein Modell sein oder soll das ein Ansatz sein, wie du die wichtigen Werte bestimmst?



  • Modellhafter Ansatz 😃
    Es ist eine art Entwurf gewesen. Und ich würde gerne wissen, ob das so denkbar wäre.

    Die eigentliche Frage wie die Gleichung zu verstehen war haben wir geklärt, aber ich finde deine Erklärung zu den größeren Datenreihen hilfreich.


  • Mod

    cl90 schrieb:

    Die eigentliche Frage wie die Gleichung zu verstehen war haben wir geklärt, aber ich finde deine Erklärung zu den größeren Datenreihen hilfreich.

    Dann frag das doch direkt. Der Ansatz, den ich genannt habe, ist zwar schon richtig, aber du kannst nicht einfach so pi mal Daumen raten, welche Zustaende wohl wichtig sind. Wenn du ein brauchbares Ergebnis moechtest, dann musst du mathematisch beweisen, dass deine Naeherungen auch gueltig sind. Nicht einfach nur raten, was wohl wichtig sein koennte und in welchem Masse. Sonst kannst du dir auch gleich selber das Ergebnis ausdenken.

    Ein paar zufaellige Methoden, die mir gerade einfallen:
    -Bei rein analytischer Berechung wird gerne die Sattelpunktmethode benutzt.
    -Fast saemtliche Arten von Computersimulationen. Ganz besonders die sogenannte Monte Carlo Methode, bei der es wirklich direkt um Anwendung dieser Formel geht. Man kann beweisen, dass diese Methoden gegen das richtige Ergebnis konvertieren. Der Trick ist natuerlich, dass man diese Konvergenz moeglichst schnell bekommen moechte, weil man sonst bei manchen Systemen (z.B. solche, bei denen es mehrere getrennte Bereiche gibt, die viel zum Ergebnis beitragen) mit naiven Methoden praktisch unendlich lang simulieren muesste. Da muss man sich clevere Methoden ausdenken und beweisen, dass diese auch funktionieren (oder Buecher lesen von Leuten, die sich diese Methoden ausgedacht haben).


Log in to reply