Matrix Ableiten



  • Guten Abend,

    ich habe folgendes Problem: Ich habe einen Matrixterm:
    (Rly * RLz * K-1)T * [e1] * (Rrx * Rry * Rrz * K^-1).
    Rly, Rlz, Rrx, Rry, Rrz sind Drehmatrizen. K ist eine Kameramatrix. [e1] ist eine beliebige Matrix die keine Variablenabhängigkeit aufweist. Alle Matrizen, bis auf Rrz und [e1], sind von genau einer unabhänhigen Variable abhängig, so das ihre Ableitung kein Problem ist. Das Problem: Rrz ist von 2 Variablen Abhängig: Olz und Orz. Diese werden addiert um eine Drehung zu erhalten. Die Variable Olz definiert auch die Drehung in Rlz. Mit anderen Worten Orz ist sozusagen eine Weiterdrehung.
    Mein Frage: Wie leite ich diese Matrizen ab ohne die Matrizen vorher auszumultiplizieren? Dies ist möglich jedoch ist diese Matrix riesig und unübersichtlich. Gibt es einen Trick um sie so zu zerlegen das sie additiv verbunden sind?

    mfg
    Fettpet



  • Hallo,

    ich gehe mal davon aus dass du die Matrizen elementweise ableiten willst. Sei also A,B:RRn×nA, B: \mathbf{R} \to \mathbf{R}^{n \times n} und

    C(t)=A(t)B(t).C(t) = A(t) \cdot B(t) \,.

    Das Matrixprodukt ist durch

    cij(t)=k=1naik(t)bkj(t)c_{ij}(t) = \sum_{k = 1}^n a_{ik}(t) b_{kj}(t)

    gegeben. Nun lässt sich dies ableiten zu

    cijt(t)=k=1naikt(t)bkj(t)+aik(t)bikt(t)\frac{\partial c_{ij}}{\partial t}(t) = \sum_{k = 1}^n \frac{\partial a_{ik}}{\partial t}(t) b_{kj}(t) + a_{ik}(t) \frac{\partial b_{ik}}{\partial t}(t)

    und man erhält durch zusammenfassen die Kettenregel

    dC=dAB+AdB.\mathrm{d}C = \mathrm{d}A \cdot B + A \cdot \mathrm{d}B \,.

    Um deine übrigen Fragen zu beantworten, müsstest du sagen, wie du die Ableitung einer Matrix definieren willst, wenn diese von mehr als einer Variablen abhängt.


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