Lineares Gleichungssystem



  • Ich kann folgende Aufgabe, die zur Klausurvorbereitung Lineare Algebra dient, nicht lösen:

    Sei A eine nxn-Matrix mit Einträgen aus Z und det(A) = 1. Seien x und y aus Z.

    Zeige, es gibt eine Lösung von

    Ay = x

    Da Z kein Körper ist und ich somit nicht einfach invertieren kann, habe ich keinen Ansatz wie ich da rangehen kann.

    (Googlen bracchte mich zu einigen Sätzen über Matrizen über Ringen, aber das sah nicht nach dem Stoff aus, der uns gelehrt wurde)

    WIe kann man die Aufgabe also mit einfachen Mitteln aus Linearer ALgebra lösen?



  • Es gibt einen Satz, nach dem eine Matrix über einem Ring (kommutativ mit 1) genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante in diesem Ring invertierbar ist.



  • DIeser Satz war leider nicht Vorlesungsstoff. ABer ist er vlt so "einfach" herzuleiten, dass das in einer Klausur verlangt werden könnte?



  • Er folgt aus dem Adjunktensatz, ist der bekannt? AAAd=detAIA\cdot A^{Ad} = \det A\cdot I.



  • In der Form noch nie gesehen.

    Ich schreib grad mit nem Kommilitonen, der die Musterlösung kennt.

    Er meinte Man müsse das ganze spaltenweise zeigen.
    Ich verstehe nicht ganz was er mir geschrieben hat, aber evt kann es mir jmd erklären:

    Sei j in {1, ..., n}:

    Betrachte A * ( y I_j (Einheitsmatrix, j-te Spalte )) = (x a1 ... aj (durchgestrichen oder anderweitig markiert?) ... an)

    -> det (A * y I_j) = det(x a1 ...)
    -> det A * det y I_j = det (x*a1 ...)
    -> 1 * y_j = irgendwas aus Z

    -> Lösung exisitiert und ist eindeutig



  • Nicht schlecht. Das IjI_j ist die Einheitsmatrix ohne die j-te Spalte. Und das aja_j ist in der Tat durchgestrichen.



  • Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".



  • Wow. OK. Und wie kommt man auf sowas?

    Im Moment kommt mir das wie eine typische "hast du schon gesehen oder keine Chance"-Aufgabe vor 😞



  • Jester schrieb:

    Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

    Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)



  • Bashar schrieb:

    Jester schrieb:

    Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

    Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)

    Was meinst Du damit genau? Das ganze folgt doch direkt aus der Cramerschen Regel, oder? Die Determinante einer ganzzahligen Matrix ist ja per Definition ganzzahlig (Summer über alle Permutationen ...).



  • Jester schrieb:

    Bashar schrieb:

    Jester schrieb:

    Vielleicht noch das Stichwort "Cramersche Regel".

    Stimmt, die vergess ich immer. Im Prinzip hat der Kommilitone die Cramersche Regel neu erfunden. (Bis auf den Teil mit der Produktformel für Determinanten. Das ist der nichttriviale Teil hier.)

    Was meinst Du damit genau? Das ganze folgt doch direkt aus der Cramerschen Regel, oder?

    Kommt drauf an, was für dich die Cramersche Regel ist. Für mich ist es y_i=detA_idetAy\_i = \frac{\det A\_i}{\det A}, wobei AiA_i die Matrix ist, die man bekommt, wenn man die i-te Spalte in A durch x ersetzt. Damit hätte man direkt argumentieren können, dass die Lösung existiert und eindeutig ist. Das hat der Kommilitone aber nicht gemacht, sondern das ganze kleinschrittig aufgeschrieben... und auch nicht genau so, sondern so dass ich vermute, dass er die Regel wirklich "neu erfunden" hat.
    An einer Stelle hat er aber det(AB)=detAdetB\det(AB) = \det A\cdot \det B benutzt, was meines Wissens nicht trivial ist. Jedenfalls hat man uns damals den Beweis vorenthalten und nur für Matrizen über Körpern vorgeführt.



  • Kann mir jemand den Ansatz mal Schrittweise erklären?

    Ich verstehe es immer noch nciht so ganz. Weder wie es funktioniert , noch wie man darauf kommt?
    Auch den Zusammenhang mit der Cramerschen Regel sehe ich nicht sofort



  • pkloper schrieb:

    Kann mir jemand den Ansatz mal Schrittweise erklären?

    Hast du konkrete Fragen?

    BTW seh ich grade, dass ich überlesen hatte, dass der Kommilitone ja nur die Musterlösung abgeschrieben hat. Die Lobesworte erübrigen sich damit.

    Auch den Zusammenhang mit der Cramerschen Regel sehe ich nicht sofort

    War die Cramersche Regel denn Vorlesungsstoff? Dann benutz die doch!


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