Lineare Algebra



  • Also ich hatte grad Klausur, ist net so toll gelaufen, aber 2 Aufgaben, die ich nicht geschafft habe, interessieren mich wirklich noch:

    Seien n Vekotren aus einem VR gegeben. Sie sind genau dann linear abhängig, wenn

    \det\begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

    Hier hänge ich total. Alles was mir zu der Matrix einfällt:
    Sie ist symmetrisch. Also diagonalisierbar und hat mindestens einen Eigenwert, der Null ist. Lineare Abhängigkeit heißt dass ich mindestens einen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen kann.

    Seien 5 Punkte aus dem IR^2 gegeben. Zeige, dass es einen Kegelschnitt gibt, der alle 5 Punkte beinhaltet. Ich habe hier zu nur auf WIki die Aussage gefunden, aber keine Ahnung, wie man das beweist.



  • pkloper schrieb:

    Seien n Vekotren aus einem VR gegeben. Sie sind genau dann linear abhängig, wenn

    \det\begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

    Das kann man eigentlich direkt machen. Ich nehme nur an, dass ,\langle , \rangle eine nicht ausgeartete Bilinearform ist.

    \det \begin{pmatrix} & ... & \\ \vdots & \ddots & \dots\\ & ... & \\ \end{pmatrix} = 0

    gdw. es eine nichttriviale Linearkombination
    a_i(v_1,v_iv_n,vi)=0\sum a\_i \begin{pmatrix} \langle v\_1, v\_i \rangle \\ \vdots \\ \langle v\_n, v_i \rangle \end{pmatrix} = 0 gibt,
    (a_iv_1,v_ia_iv_n,v_i)=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sum a\_i \langle v\_1, v\_i \rangle \\ \vdots \\ \sum a\_i \langle v\_n, v\_i \rangle \end{pmatrix} = 0
    (v_1,a_iv_iv_n,a_iv_i)=0\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \langle v\_1, \sum a\_i v\_i \rangle \\ \vdots \\ \langle v\_n, \sum a\_i v\_i \rangle \end{pmatrix} = 0

    Nenne W den Untervektorraum, der von v_1,,v_nv\_1, \ldots, v\_n aufgespannt wird, und nenne w:=a_iv_iw := \sum a\_i v\_i. Dann ist also w in W enthalten, aber aufgrund der letzten Formel auch orthogonal zu allen Vektoren aus W, aber WW={0}W \cap W^{\bot} = \{ 0 \}, d.h. w = 0, so dass v_1,,v_nv\_1, \ldots, v\_n linear abhängig sind.

    Sind v_1,,v_nv\_1, \ldots, v\_n umgekehrt linear abhängig, so ist w = 0 und damit natürlich die letzte Formel sofort gültig.

    Seien 5 Punkte aus dem IR^2 gegeben. Zeige, dass es einen Kegelschnitt gibt, der alle 5 Punkte beinhaltet. Ich habe hier zu nur auf WIki die Aussage gefunden, aber keine Ahnung, wie man das beweist.

    Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte im R2\mathbb{R}^2 lautet ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0. Wenn du forderst, dass diese an 5 Punkten gilt, hast du ein homogenes lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 6 Unbekannten, also einen eindimensionalen Lösungsraum.



  • Ich habe das mit dem linearen Gleichungssystem erkannt, aber nur weil ich mehr UNbekannt habe als Gleichungen, muss es doch nicht IMMER eine Lösung geben?

    Gesucht x,y,z

    I : x= 3
    II: x= 1

    .

    Was garantiert mir in dem Fall die Lösbarkeit?



  • Du hast das Wort homogen übersehen.



  • Das kommt davon , wenn man immer nur x uny als Variablen kennt. da hab ich glatt +f fü eine Inhomogenität gehalten. Ich war so knapp dran 😞



  • Bashar schrieb:

    {...] also einen eindimensionalen Lösungsraum.

    was, wenn die Gleichungen nicht unabhängig sind? dim Kern = n - Rang >= 6 - 5



  • OK, einen mindestens eindimensionalen Lösungsraum 🙂


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