Stetig differenzierbar = lipschitzstetig ?



  • Hier ist eine Aufgabe, in der ich zeigen soll dass jede stetig differenzierbare Abbildung von D -> R^n (D offen) lipschitz-stetig ist.

    Ist das überhaupt wahr? Es wird doch sicher nicht umsonst eine Unterscheidung zwischen stetig und lipschitz-stetig geben?

    Wie muss ich an die Aufgabe rangehen? Irgendwie muss ich ja zeigen, dass es eine Lipschitz-Konstante gibt, nehme ich an, aber diese kann ich doch nicht für eine unbekannte Funktion errechnen 😕



  • haudruff schrieb:

    Hier ist eine Aufgabe, in der ich zeigen soll dass jede stetig differenzierbare Abbildung von D -> R^n (D offen) lipschitz-stetig ist.

    Ist das überhaupt wahr?

    Nein, z.B. ist RR,xx2\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 stetig differenzierbar, aber nicht Lipschitz-stetig.

    Es wird doch sicher nicht umsonst eine Unterscheidung zwischen stetig und lipschitz-stetig geben?

    Da steht nicht stetig, sondern stetig differenzierbar.

    Wie muss ich an die Aufgabe rangehen?

    Gute Frage. Nochmal lesen, ob sie wirklich das behauptet, was du sagst?



  • Also unsere Definition von Lipschitz-Stetig ist Folgende:

    Das Vektorfeld f : D -> R^d heißt (lokal) Lipschitz-stetig in
    x, wenn für jede kompakte Teilmenge K aus D eine Konstante L > 0 existiert,
    so dass die Ungleichung

    | f(t,x1) - f(t,x2) | < L * | x1 - x2 |

    für alle (t,x1), (t,x2) aus K gilt.

    Die Aufgabe ist nun:

    Beweisen Sie, dass jede stetig differenzierbare Abbildung
    f : D -> R^d
    mit D ⊂ R × R^d (offen) Lipschitz-stetig im Sinne der Definition ist.

    Man darf sich auf konvexe Mengen für den Beweis beschränken, wobei aber nicht ausdrücklich dasteht, dass es nur für konvexe gilt oder gelten soll.

    Das differenzierbar hab ich tatsächlich übersehen. Aber das hilft mir jetzt erstmal auch nicht weiter.
    Ist an unserer Definition irgendwas dran, das ich noch übersehe?



  • haudruff schrieb:

    Also unsere Definition von Lipschitz-Stetig ist Folgende:

    Das Vektorfeld f : D -> R^d heißt (lokal) Lipschitz-stetig in
    x, wenn für jede kompakte Teilmenge K aus D eine Konstante L > 0 existiert,
    so dass die Ungleichung

    | f(t,x1) - f(t,x2) | < L * | x1 - x2 |

    für alle (t,x1), (t,x2) aus K gilt.

    Das ist (wenn ich das richtig sehe) lokale Lipschitz-Stetigkeit. Dass ihr das "lokal" weglasst, ist AFAIK nicht Standard.

    Man darf sich auf konvexe Mengen für den Beweis beschränken, wobei aber nicht ausdrücklich dasteht, dass es nur für konvexe gilt oder gelten soll.

    Gut, ohne das wird es komplizierter.

    Ich werf mal den Mittelwertsatz und den Satz von Weierstraß als Tipps in den Raum.



  • Bashar schrieb:

    und den Satz von Weierstraß

    Wo brauchst du den? Ob sup f' angenommen wird, ist doch egal.



  • Brauchen tut man nur eine abgeschwächte Aussage davon, aber man hat ihn, also warum nicht benutzen?



  • Nochmals leider eine frage dazu:

    Für eindimensionale Funktionen hab ich das ganze, denke ich zumindest kapiert.
    Allerdings: wie ist stetig differenzierbar für diese vektorwertige Funktion zu verstehen?
    Darf ich, da das ganze mit Differentialgleichungen zu tun haben soll, annehmen dass eine partielle Abelitung nach t ausreicht?
    Oder brauche ich eine Gesamte Ableitung nach t ?

    Ich hänge hierbei immer noch sehr stark ... 😞


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