Vektorraum Axiome



  • Hallo @all,

    ich habe eine (wahrscheinlich sehr einfache) Aufgabe bekommen:

    *"Leiten Sie aus den Axiomen für Vektorräume her, dass für beliebige K-Vektoren v gilt: (-1)v = -v. Dabei ist -1 das additiv Inverse zur multiplikativen 1 im Körper K und -v das additiv Inverse zum Vektor v."

    Die Axiome

    Ich steh sei Stunden auf dem Schlauch...
    Also es ist klar und intuitiv, dass obiges gilt, jedoch fällt es mir unheimlich schwer, es aus den Axiomen herzuleiten.
    Vllt hat jemand einen Tipp, bzw. kann mir einen Stoß in die richtige Richtung verpassen, ich denke, dass die Aufgabe grundsätzlich nicht schwer ist,
    ich bin nur zu dämmlich das zu sehen und werde mich danach sehr wahrscheinlich an den Kopf fassen .

    Danke und mfG

    shft



  • Das ist wirklich nicht schwer. Du musst nur zeigen, dass (-1)v das Axiom für das additiv Inverse erfüllt. Weiter helfen kann ich fast nicht, ohne es schon zu verraten. Wie weit kommst du denn?



  • Mir ist soweit klar, dass ich zeigen muss, dass

    v + (-1)v = (-1)v + v = 0-Vektor

    ist.

    Aber ich kann doch nicht einfach behaupten, dass

    (-1)v <=> 1 * -v

    ist.



  • Richtig, das kannst du nicht. Du musst v+(1)vv + (-1)v unter der Verwendung der Axiome so umformen, dass am Ende 0 rauskommt. Ich sag mal noch als Tipp, in der Mitte kommt irgendwo das Distributivgesetz (bei Wikipedia S2) zum Einsatz.



  • Oder reicht:

    (-1)v = -(1*v) = 1*(-v) = -v

    aus? ( Wegen Für alle a element K: (-a)v = -(a*v) = a*-v



  • shft schrieb:

    Oder reicht:

    (-1)v = -(1*v) = 1*(-v) = -v

    aus?

    Wenn du die Axiome jeweils dazu nennen kannst, reicht das aus. Ich seh allerdings nicht, welche das sein sollen. Meiner Ansicht nach benutzt du da Eigenschaften, die erst bewiesen werden müssen.



  • omg .

    Du meinst also:

    v+(-1)v = 1v + (-1)v = (1+(-1))v = 0v = 0 ...

    Super! Ich danke dir!!!

    Wie konnte ich das übersehen... Ich danke dir!


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