Gleichung lösen



  • Guten Abend,
    wie löst man folgende Gleichung?
    x=x272x = - \sqrt{x^2-72}
    Durch quadrieren der Gleichung bekomme ich einen Widerspruch. Allerdings ist das meiner Meinung nach noch kein Beweis dafür, dass es keine Lösung gibt, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
    lg



  • Ähnliches gilt für:
    x=x272x = \sqrt{x^2-72}



  • _self schrieb:

    Guten Abend,
    wie löst man folgende Gleichung?
    x=x272x = - \sqrt{x^2-72}
    Durch quadrieren der Gleichung bekomme ich einen Widerspruch. Allerdings ist das meiner Meinung nach noch kein Beweis dafür, dass es keine Lösung gibt, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
    lg

    Aber durch Quadrieren bekommst du mehr und nicht weniger Lösungen.
    Sei A(x) die erste Gleichung und B(x) die quadrierte.
    Dann gilt

    \begin{align} \left( A(x) \Rightarrow B(x) \right) & \Rightarrow \\ \left(\exists x A(x) \Rightarrow \exists x B(x)\right) & \Leftrightarrow \\ \left(\forall x \lnot B(x) \Rightarrow \forall x \lnot A(x)\right) \\ \end{align}

    D.h. wenn es für die quadrierte Gleichung keine Lösung gibt, gibt es auch keine für die unquadrierte.



  • Nur weil Quadrieren nicht als Äquivalinzumformung gilt heisst es ja nicht das es nicht gültig ist. Das Problem ist das man zwei Lösungen bekommt und nicht nur eine. Deshalb testet man die Lösungen aus der Lösungsmenge und kommt hoffentlich zu einem Ergebnis.
    In deinem Fall heisst das : es gibt keine da eine Ungleichung



  • Hallo Community, de letzten Kommentare habe ich in etwa verstanden. Ich stehe jetzt allerdings wieder vor einem ähnlichen Problem...
    Laut Massmatics ist das Radizieren eine Äquivalenzumformung bei Ungleichungen, da es sich um eine streng monoton wachsende Funktion handelt. Klingt auch erstmal logisch, aber folgendes Beispiel scheint nicht in dieses Schema zu passen. x^2 + a^2>0 <=> x^2 > -a^2 <=> x > sqrt(-a^2), a € R
    Der Ausdruck x2>a2x^2 > -a^2 hat für mich die Lösungsmenge "Alle reellen Zahlen ohne Null".
    Beim letzten Ausdruck ist die Lösungsmenge für mich leer. Dementsprechend ändert das Radizieren ja doch die Lösungsmenge und ist somit keine Äquivalenzumformung. Wo liegt mein Denkfehler?



  • Zwei Sachen. Einmal ist die Wurzel für negative Zahlen nicht definiert, also ist Wurzelziehen auch nur für den Fall eine Äquivalenzumformung, wenn beide Seiten der Gleichung nichtnegativ sind.

    Zweitens ist die Wurzel einer reellen Zahl x ist per Definition diejenige nichtnegative Zahl, die quadriert x ergibt. Deshalb ist x2=x\sqrt{x^2} = |x|.

    Die Lösungsmenge von x2+a2>0x^2 + a^2 > 0 ist übrigens R\mathbb{R} falls a0a\neq 0, und R{0}\mathbb{R}\setminus\{0\} falls a=0a=0.



  • x * x == x^2
    Die Potenz gibt wie wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird.
    sqrt(x^2)
    Die Wurzel kehrt x^2 um zu x (Umkehrung)
    Problem: (-x)^2 == x^2 und somit positiv
    (-x)^4 == x^4 und auch positiv. Alle geraden Exponenten ergeben somit immer eine positive Zahl, egal ob die Basiszal negativ oder positiv ist.
    Ist die Basiszahl negativ UND der Exponent negativ wird auch das Ergebnis negativ. Wurzeln ist somit kein Problem.
    Jetzt weiß man aber auch um den -Faktor mal -Faktor , also warum nicht gleich sowas hier: http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net////komplexe/kz2s10.htm


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