Gleichmäßige Konvergenz



  • Kann mir jemand die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

    fn(x)=xnenxf_n(x) = x^n * e^{-n*x}

    beweisen?

    Ich komme stets auf Terme die (ln(x) - x) beinhalten und kann mit denen nichts anfangen.



  • Naja, wenn man zwei Dinge weiß, nämlich
    (1) xexx \leq e^x für alle x und
    (2) x1/log(x)=ex^{1/\log(x)} = e,
    dann ist das recht simpel: Setze Nε:=logεlogxexN_{\varepsilon} := \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}}. Dann gilt für alle nNεn \geq N_{\varepsilon}: (xex)n((xex)1/log(x/ex))logε=ε\left(\frac{x}{e^x}\right)^n \leq \left(\left(\frac{x}{e^x}\right)^{1/\log(x/e^x)}\right)^{\log\varepsilon} = \varepsilon.



  • Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass das natürlich nur für nichtnegative x gilt.



  • Was du hier zeigst, ist aber nur punktweise Konvergenz, nicht gleichmäßige.
    Die Funktionenfolge konvergiert punktweise für xR:x0\forall x \in \mathbb{R} : x \ge 0 gegen f(x)=0f_\infty(x)=0.
    Sie konvergiert auf dem selben Bereich sogar gleichmäßig, denn
    xnenxen<ϵ     x0|x^n\mathrm{e}^{-nx}|\le|e^{-n}|\lt\epsilon\ \ \ \ \ \forall x \ge 0
    Die erste Ungleichung kann man leicht per Induktion zeigen.



  • Gerade der erste teil ist für mich interessant:

    xnenxenx|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-nx}|

    Für x >= 1 ist mir das klar, aber für x zwischen 0 und 1?



  • Jodocus schrieb:

    Was du hier zeigst, ist aber nur punktweise Konvergenz, nicht gleichmäßige.

    Wie kommst du darauf? Ich habe NεN_{\varepsilon} unabhängig von x gewählt. Deshalb habe ich gleichmäßige Konvergenz gezeigt.



  • Oh sorry, ich sollte mir meine eigenen Antworten wohl mal durchlesen 🙄



  • Lässt sich aber trotzdem ganz leicht beheben, indem man Nε:=logεlogεlogxexN_{\varepsilon} := -\log\varepsilon \geq \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}} definiert.



  • Um mal den Vierfachpost zu komplettieren:

    shisha schrieb:

    Gerade der erste teil ist für mich interessant:

    xnenxenx|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-nx}|

    Für x >= 1 ist mir das klar, aber für x zwischen 0 und 1?

    Da ist ein x zu viel: xnenxen|x^n e^{-nx}| \leq |e^{-n}|.
    Zuerst mal kann man die Betragsstriche weglassen, weil alle Terme positiv sind. Für n = 1 steht da e*x <= e^x. Das ist wahr, weil e*x die Tangente von e^x für x = 1 ist und e^x konvex ist. Insbesondere bedeutet das x * e^(-x) <= 1/e, was direkt den Induktionsschritt beweist:
    xn+1e(n+1)x=(xnenx)(xex)ene1=e(n+1).x^{n+1}e^{-(n+1)x} = (x^n e^{-nx}) \cdot (x e^{-x}) \leq e^{-n} e^{-1} = e^{-(n+1)}.



  • m.e. schrieb:

    Lässt sich aber trotzdem ganz leicht beheben, indem man Nε:=logεlogεlogxexN_{\varepsilon} := -\log\varepsilon \geq \frac{\log\varepsilon}{\log \frac{x}{e^x}} definiert.

    Das läuft ja gerade auf meine Abschätzung hinaus. 😉
    Ansonsten stimmt natürlich deine Induktion, allerdings hätte das shisha ruhig mal selber rechnen können.

    @ shisha: Gleichmäßige Konvergenz auf der Standardnorm zu beweisen, ist nicht schwierig. Meine Idee kam daher, dass ich einfach mal geschaut habe, ob und wo fnf_n ein lokales Maximum hat und ob die Stelle xmaxx_{max} unabhängig von n ist. Das ist hier bei x=1x=1 der Fall, also kann man getrost fn(1)f_n(1) als Abschätzung benützen. In diesem Fall war ich sogar glücklich, denn das Maximum ist das einzige in den positiven reellen Zahlen, sodass die Funktion überall da auch gleichmäßig konvergiert, wo die Abschätzung greift.


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