Metrik



  • Hallo,

    angenommen ich habe 2 Mannigfaltigkeiten XX und YY mit jeweils zwei zugehörigen Metriken d_X(x_1,x2)d\_X(x\_1,x_2) und d_Y(y_1,y2)d\_Y(y\_1,y_2).

    Gibt es einen Satz (oder kann man zeigen), dass für die Mannigfaltigkeit Z=X×YZ=X\times Y, welche durch das kartesischen Produkt gebildet wird, d_Z(x_1,x_2,y_1,y_2):=d_X(x_1,x_2)2+d_Y(y_1,y2)2d\_Z(x\_1,x\_2,y\_1,y\_2):=\sqrt{d\_X(x\_1,x\_2)^2 + d\_Y(y\_1,y_2)^2} ebenfalls eine Metrik ist? Oder vielleicht gilt das auch gar nicht, dann wäre ein Gegenbeispiel super 🙂

    Bitte für "Dummies" antworten, bin auf dem Gebiet nicht so sattelfest... Freue mich auch über weiterführende Links.



  • Ja, das gilt.
    Etwas allgemeiner:
    Seien (X_i,d_i)i=1..n(X\_i, d\_i) \: i=1..n metrische Räume, dann ist das kartesische Produkt X=i=1nXiX = \prod_{i=1}^n X_i mit d(x,y):=(i=1nd_i(x_i,yi)p)1/pd(x,y) := \left( \sum_{i=1}^n d\_i(x\_i,y_i)^p \right)^{1/p} auch ein metrischer Raum.

    Symmetrie und positive Definitheit ist trivial zu zeigen.
    Für die Dreiecksungleichung benutzt man die Dreiecksungleichung der Metriken und die Minkowski-Ungleichung (siehe z.B. http://www.mathepedia.de/Minkowskische_Ungleichung.aspx)



  • Bloops schrieb:

    Gibt es einen Satz (oder kann man zeigen), dass für die Mannigfaltigkeit Z=X×YZ=X\times Y, welche durch das kartesischen Produkt gebildet wird, d_Z(x_1,x_2,y_1,y_2):=d_X(x_1,x_2)2+d_Y(y_1,y2)2d\_Z(x\_1,x\_2,y\_1,y\_2):=\sqrt{d\_X(x\_1,x\_2)^2 + d\_Y(y\_1,y_2)^2} ebenfalls eine Metrik ist?

    Du musst nur die Axiome der Metrik nachprüfen:

    wohldefiniert: Die Wurzel ist definiert, da die Metriken positiv sind.
    positiv-definit: d(x,y)≥0: erfüllt, Wurzeln sind immer positiv
    symmetrisch: d(x,y)=d(y,x): erfüllt, da dX und dY Normen und damit symmetrisch sind.
    Dreiecksungleichung: d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z): (ich schreibe (d(x)=d_1(x_1)2+d_2(x_2)2d(x)=\sqrt{d\_1(x\_1)^2+d\_2(x\_2)^2})

    \begin{align} (d(x,y)+d(y,z))^2&=\left(\sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2}+\sqrt{d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2}\right)^2\\&= d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2 + d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2 \+ \underbrace{2\sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_2(x\_2,y\_2)^2}\sqrt{d\_1(y\_1,z\_1)^2+d\_2(y\_2,z\_2)^2}}_{\geq 0}\\ &\stackrel{\text{(1)}}\geq \sqrt{d\_1(x\_1,y\_1)^2+d\_1(y\_1,z\_1)^2}^2 + \sqrt{d\_2(x\_2,y\_2)^2 + d\_2(y\_2,z\_2)^2}^2\\&\stackrel{(2)}\geq d\_1(x\_1,z\_1)^2+d\_2(x\_2,z\_2)^2\\&=d(x,y)^2 \end{align}

    Ungleichung (1) ist ein impliziter Beweis der Minkowski-Ungleichung und (2) folgt aus den Eigenschaften der Metriken.



  • Wie rechtfertigst du Ungleichung (2), genauer meine ich z.B. d\_1(x\_1, z\_1)^2 \stackrel{\text{?}}\le d\_1(x\_1, y\_1)^2+d\_1(y\_1, z_1)^2?
    Die Dreiecksungleichung garantiert dir nach meinem Ermessen nur d\_1(x\_1, z\_1)^2\le d\_1(x\_1, y\_1)^2+\underbrace{2d\_1(x\_1, y\_1)d\_1(y\_1, z\_1)}_{\ge 0} + d\_1(y\_1, z_1)^2.


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