Hilfestellung beim Finden der speziellen Lösung eines DGL-Systems



  • Hi, ich habe gerade probleme dabei eine spezielle Lösung für ein inhomogenes Differentialgleichungssystem 1. Ordnung zu finden.
    Das System sieht folgendermaßen aus:

    x'(t) = y \\ y'(t) = x + e^{t} + e^{-t}

    Die homogene Lösung habe ich schon berechnet, die sieht bei mir folgendermaßen aus:
    x=C1et(11)+C2et(11)\vec x = C1 * e^{-t} * \binom{-1}{1} + C2 * e^{t} * \binom{1}{1}
    Als spezielle Lösung habe ich bereits folgendes ausprobiert:
    Xs=(A1A2)et+(B1B2)et\vec Xs = \binom{A1}{A2} * e^{t} + \binom{B1}{B2} * e^{-t}
    und
    Xs=((A1A2)et+(B1B2)et)t\vec Xs = (\binom{A1}{A2} * e^{t} + \binom{B1}{B2} * e^{-t}) * t

    Leider lässt sich das darauffolgende LGS nicht lösen...
    Grüße



  • kennst du https://www.wolframalpha.com/? ?

    Was sind das eigentlich für Funktionen?
    R->R oder R2->R2 , aber wie definierst du dir da die e-Funktion, bzw die Addition mit Verkoren und Skalaren?

    Also für R->R ergibt sich:

    x(t)=12c_1et(e2t+1)+12c_2et(e2t1)+14et(2t+e2t(2t1)1)x(t) = \frac{1}{2} c\_1 e^{-t} (e^{2 t}+1)+\frac{1}{2} c\_2 e^{-t} (e^{2 t}-1)+\frac{1}{4} e^{-t} (-2 t+e^{2 t} (2 t-1)-1)
    und

    y(t) = \frac{1}{2} c\_1 e^{-t} (e^{2 t}-1)+\frac{1}{2} c\_2 e^{-t]} (e^{2 t}+1)+\frac{1}{4} e^{-t} (2 t+e^{2 t} (2 t+1)-1)

    kommt mir recht kompliziert vor für eine Übungsaufgabe, sicher, dass du keinen Fehler beim Abschreiben gemacht hast?



  • kennst du https://www.wolframalpha.com/? ?

    Ja, aber der Lösungsweg wird dort nur Premiummitgliedern angezeigt.

    Was sind das eigentlich für Funktionen?

    x(t) und y(t) sind beides skalare Funktionen, die von t abhängig sind.

    wie definierst du dir da die e-Funktion, bzw die Addition mit Verkoren und Skalaren?

    Die e-Funktionen werden einfach skalar mit den Vektoren multipliziert, heisst man kann sie genauso gut reinziehen. Aber ich finde es so übersichtlicher.
    Hier nochmal wie es alternativ aufgeschrieben werden könnte.
    \vec {x} =\binom {-C1\*e^{-t}+C2\*e^{t}}{C1\*e^{-t}\*+C2*e^{t}}



  • Achso, falls das nicht ganz verständlich war:
    Der Vektor x soll in diesem Fall die beiden Ableitungen x' und y' enthalten:
    x=(x(t)y(t))\vec {x} = \binom {x'(t)}{y'(t)}



  • Ok also ich würde die zweite gleichung einfach mal ableiten, dann erhälst du:

    y(t)=yet+ety''(t) = y - e^{-t} + e^t

    Jetzt hast du nur noch eine Funktion und damit eine inhomogene lineare DGL von grad 2, dafür aber ohne y'. Glaube das lässt sich lösen.


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