Umformung von Term in Differentialgleichung



  • Hi, ich versuche gerade eine Umformung eines Terms in einer Differentialgleichung aus einem Lehrbuch nochzuvollziehen. Vielleicht hat ja hier jemand Ahnung von Differentialrechnung und sieht meinen Fehler. Die Umformung aus dem Lehrbuch ist:
    2θ((aθ))=(aθ2)2a(θ)(θ)2\theta\left(\nabla\cdot\left(a\nabla\theta\right)\right) = \nabla\cdot\left(a\nabla\theta^2\right)-2a(\nabla\theta)\cdot(\nabla\theta)
    a und theta sind zwei Skalare. Wenn ich die Umformung selber rechne, dann komme ich auf Folgendes. Erstmal Produktregel anwenden:
    2θ((aθ))=2(aθθ)2a(θθ)2\theta\left(\nabla\cdot\left(a\nabla\theta\right)\right) = 2\nabla\cdot(a\theta\nabla\theta) - 2a\nabla\cdot(\theta\nabla\theta)
    Den ersten Term der rechten Seite umformen mit x*dx = 1/2*dx^2:
    2(aθθ)=212(aθ2)2\nabla\cdot(a\theta\nabla\theta) = 2\frac{1}{2}\nabla\cdot\left(a\nabla\theta^2\right)
    Der erste Term stimmt schonmal mit dem Lehrbuch überein. Das heißt ich muss noch zeigen:
    (θθ)=(θ)(θ)\nabla\cdot(\theta\nabla\theta) = (\nabla\theta)\cdot(\nabla\theta)
    Aber das sieht falsch aus. Der linkte Term involvierte ja eine zweifache Ableitung während der rechnte nur zweimal eine einfache Ableitung enthält. Übersehe ich hier irgend eine Identität?



  • habs selber rausgefunden. Meine "produktregel" ist natürlich falsch..


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