Heutige Entwicklungen in der Mathemtik



  • Hi.

    In welchen Teilgebieten der Mathematik kann man momentan eigentlich grosse Entwicklungen sehen? Ich meine jetzt nicht irgendwelche isolierten Glanzleistungen, sondern Stroemungen in der Mathematik, die zu Fortschritten in diesen Gebieten fuehren. Im 20. Jahrhundert gab es zum Beispiel sehr viel Entwicklung in der algebraischen Topologie.

    Also: Was ist in der Mathematik momentan heiss?



  • A1-Homotopie-Theorie.



  • Meinst du jetzt nur die theoretische Mathematik?

    Ich glaube nicht, dass es heute noch so zentrale Themen gibt, die gezielt erforscht werden. Ich kenne viele, die in der Mathematik forschen und keine 2, die an dem selben Thema forschen, mathematik ist einfach extrem vielseitig und das schlägt sich auch in der heutigen Forschung nieder.

    Wenn es nicht wieder irgentwelche Inputs durch die Naturwissenschaften gibt, wird das wohl auch erst mal so bleiben



  • Ob die Leute wohl damals, so etwa in den 40ern, auf die gleiche Frage damit geantwortet hätten, dass Algebraische Topologie gerade das große Ding ist? Oder ob wir das nur im Nachhinein erkennen können?



  • Nein, auch angewandte Mathematik. ...und eigentlich wäre es auch ganz interessant, zu erfahren, welche Themen in anderen Gebieten jenseits der Mathematik gerade heiß sind.

    Ich denke schon, dass es auch in der Mathematik Strömungen gibt, so dass viele Leute im gleichen Teilgebiet Fortschritte machen. Ich bin mir sicher, dass es hier im Forum auch wissenschaftlich arbeitende Mathematiker gibt. Die fahren dann sicherlich auch hin und wieder auf große Konferenzen und hören, an was andere so arbeiten. Wenn man über eine gewisse Zeit zu solchen Konferenzen gefahren ist, merkt man, in welchen Teilgebieten sich etwas tut.



  • Bashar schrieb:

    Ob die Leute wohl damals, so etwa in den 40ern, auf die gleiche Frage damit geantwortet hätten, dass Algebraische Topologie gerade das große Ding ist? Oder ob wir das nur im Nachhinein erkennen können?

    Das ist eine gute Frage. Allerdings gibt es durchaus auch halbwegs objektive Indikatoren, die recht zeitnah verfügbar sind. Zum Beispiel die Entwicklung der Anzahl an Publikationen, die man zu einem bestimmten Fachbegriff findet.

    In dem Gebiet, in dem ich arbeite, ist das zumindest relativ offensichtlich. Wird zum Beispiel in Fig. 1 in der Arbeit da gezeigt. Solche Gebiete muss es in der Mathematik auch geben.



  • interuniverselle Teichmüllertheorie 😋



  • Die Numerik ist nach wie vor ein 'hot topic', weil sie zum einen oft brauchbare Ergebnisse für die Praxis liefert, und zum anderen vieles verwurstet was in anderen mathematischen Zweigen produziert wird (z.B. Regularitätsaussagen, diverse Einbettungssätze usw.). Viele verwechseln numerische Mathematik leider mit 'number crunching' und bunte Bilder erzeugen, aber in der Analysis werden schon sehr anspruchsvolle Sachen bewiesen. Das Schöne ist, dass man die Resultate oft erklären und greifbar machen kann, auch wenn die Beweise sehr komplex sind und es erstmal nicht spannend klingt, dass man ein Verfahren mit beweisbar besserer Konvergenz entwickelt hat. Am Ende spart so etwas aber bares Geld, weil man auf großen Rechnern nicht mehr bloß auf Skalierbarkeitslügen schielt (mit genug overhead bekommt man alles skalierbar) sondern sich wieder auf alte Werte wie "gib mir ein Ergebnis möglichst schnell und effizient" besinnt. Esoterik gibt es dort aber abseits der praktischen Fragestellungen genug, wie es in anderen Zweigen der Mathematik/Wissenschaft auch vorkommt. Aber manchmal findet jemand 20 Jahre später ein esoterisches Resultat, setzt es in Verbindung mit aktuellen Fragestellungen und schafft etwas großes.



  • Pfadintegrale sollten/müssen auch genannt werden.



  • cpp_Jungspund schrieb:

    Pfadintegrale sollten/müssen auch genannt werden.

    Inwiefern ist das gerade ein heißes Thema?



  • Pfadintegrale sind in sofern heiß, weil sie mathematisch nicht existieren. Da fehlt die Integrationstheorie. In der Physik sind diese Pfadintegrale als Werkzeug nicht mehr weg zu denken und was noch viel wichtiger ist, ist die experimentelle Verifikation von solchen Rechnungen. Ein tolles Beispiel:

    Der g-Wert des Elektron stimmt auf 54 Nachkommastellen mit dem gemessenen Wert überein, berechnet mit einer Mathematik, bei der jeder Mathematiker sagt, dass das nicht existiert. 54 Nachkommastellen sprechen aber eine andere Sprache...



  • cpp_Jungspund schrieb:

    Der g-Wert des Elektron stimmt auf 54 Nachkommastellen mit dem gemessenen Wert überein,

    Glaub ich net.



  • volkard schrieb:

    cpp_Jungspund schrieb:

    Der g-Wert des Elektron stimmt auf 54 Nachkommastellen mit dem gemessenen Wert überein,

    Glaub ich net.

    Ich auch nicht. Allerdings ist es bekannt, dass der g-Faktor des Elektrons zu den theoretisch und experimentell am genauesten bestimmten Größen zählt. Und es gibt entsprechend auch eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den beiden Werten. Vermutlich so um die 10 Stellen.



  • cpp_Jungspund schrieb:

    Pfadintegrale sind in sofern heiß, weil sie mathematisch nicht existieren. Da fehlt die Integrationstheorie.

    Hmmm. Wikipedia bestaetigt, dass in dem Zusammenhang noch nicht alles bekannt ist:

    https://de.wikipedia.org/wiki/Pfadintegral

    In der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie ist der Exponent im Integranden der Pfadintegrale imaginär. Im Gegensatz dazu sind die Exponenten der Pfadintegrale der klassischen Physik reell. In der Mathematik sind Pfadintegrale bzw. Funktionalintegrale Teil der Funktionalanalysis. Das Konvergenzverhalten und die Wohldefiniertheit des Pfadintegrals sind mathematisch nicht vollständig erforscht; es kann aber als gesichert gelten, dass die imaginärzeitige Formulierung mit dem Wiener-Maß in vielen Fällen exakt begründet werden kann und dass mit der sog. Wick-Rotation ein exakter Zusammenhang zwischen reell-wertiger und imaginärer Formulierung besteht („Statistische Physik bzw. Quantenfeldtheorie“).

    Eigentlich aeusserst interessant. Ich weiss nicht, ob ich jemals wirklich mit Pfadintegralen zu tun hatte. In dem Bereich, in dem ich taetig bin, treten sie nicht auf. Allerdings muss man von diesem Bereich nicht sooo weit weg gehen, um mit Pfadintegralen konfrontiert zu werden.



  • Gregor schrieb:

    volkard schrieb:

    cpp_Jungspund schrieb:

    Der g-Wert des Elektron stimmt auf 54 Nachkommastellen mit dem gemessenen Wert überein,

    Glaub ich net.

    Ich auch nicht. Allerdings ist es bekannt, dass der g-Faktor des Elektrons zu den theoretisch und experimentell am genauesten bestimmten Größen zählt. Und es gibt entsprechend auch eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den beiden Werten. Vermutlich so um die 10 Stellen.

    Kein Grund zu spekulieren, das googlet man in 5 Sekunden.

    http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem



  • Jodocus schrieb:

    http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem

    Ist das der gemessene oder der berechnete Wert? 😉



  • Gregor schrieb:

    Jodocus schrieb:

    http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gem

    Ist das der gemessene oder der berechnete Wert? 😉

    Natürlich gemessen, wir sind hier bei der NIST. Tatsächlich ist der experimentelle Wert genauer bekannt als der theoretische.



  • Vielleicht ist das Langlands Programm etwas, an dem heutzutage stark geforscht wird.



  • Ja, natürlich.



  • Millennium Prize Problems
    https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems

    Könnte mir auch vorstellen dass diverse Probleme der Kryptoanalyse eine Rolle spielen.


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